Chapitre 4. Nombres complexes

Remarque
∀z ∈ \mathbb{U}, il existe θ (non unique) ∈ ℝ, Re(z) = cos θ et Im(z) = sin θ. Ceci nous conduira vers la notion de forme trigonométrique d’un nombre complexe.RemarqueATTENTION ! 0n’a pas d’argument (puisque l’angle (\vec{u}, \vec{0}) n’est pas défini).
On répète ceci (si nécessaire) jusqu’à se trouver face à une fonction polynomiale de degré 2, que l’on sait résoudre de la façon suivante :
Les affixes de ces racines sont les sommets d’un polygône regulier à n côtés, dont les sommets sont situés sur le cercle trigonométrique.Retrouvez ici toutes les méthodes indispensables pour mieux appréhender les exercices et utiliser le cours.
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :1. z1 = −4 + 4i2. z_2=\frac{1-i \sqrt{3}}{1-i}3. z_3=-3 \sqrt{3}-3 i4. z_4=\left(\frac{1+i \sqrt{3}^5}{1+i}\right)^7.1. Résoudre dans ℂ l’équation d’inconnue z : (E) z3 − (16 − i)z2 + (89 − 16i)z + 89i = 0 (on pourra commencer par chercher une solution imaginaire pure).2. Déterminer alors la nature du triangle formé par les trois points dont les affixes sont les solutions de (E).
Calculer, pour x ∈ ℝ et n ∈ ℕ∗, C_n=\sum\limits_{k=0}^n \cos (k x) et S_n=\sum\limits_{k=0}^n \sin (k x).
Donner la forme trigonométrique de z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ [0; 2π[.
Soit a un complexe de module 1, différent de 1.
Montrer que z=\frac{1+a}{1-a} est imaginaire pur.1. Exprimer, à l’aide de la formule de Moivre, cos 5x et sin 5x en fonction de cos x et si…