Chapitre 5. Fonctions d’une variable réelle

Remarque
Les notions de fonctions majorées et minorées n’ont aucun sens pour des fonctions à valeurs complexes (on n’a pas de relation d’ordre sur ℂ).
Retrouvez ici toutes les méthodes indispensables pour mieux appréhender les exercices et utiliser le cours.Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions suivantes :f ∶ (x; y) ↦ x3 − 7xy − 3y2g ∶ (x; y) ↦ x2e− yh ∶ (x; y) ↦ sin(3x + 4y)
Soit f la fonction définie par f(x)=\ln \left(\frac{4-x}{x+2}\right).
Déterminer l’ensemble de définition D de f.
Montrer que la courbe de la fonction f admet un centre de symétrie.
Étudier la fonction f.
Montrer que, pour tout réel x strictement positif, \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}.
Qu’en est-il si x < 0 ?
On considère la fonction f qui à x associe \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right).
Déterminer l’ensemble de définition de f. On le notera D.
Étudier la parité de f. Que peut-on en déduire ?
Étudier les variations de f sur son ensemble de définition. On déterminera les limites de f aux bornes de D.
Tracer la courbe représentative de f.
Déterminer les limites suivantes :1. \lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.2. \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2 x^2}}.
Soit f la fonction définie par : f(x)=\frac{\sin 3 x}{\sin x}.1. Déterminer l’ensemble de définition de f.2. Étudier la parité et la périodicité de f. En déduire un intervalle réduit I d’étude de la fonction…