Afin d’illustrer sur un cas simple les considérations générales du Chapitre XI, nous allons étudier par la théorie des perturbations stationnaires l’effet d’un potentiel perturbateur en x, x2 ou x3 sur les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension (aucun de ces niveaux n’est dégénéré, cf. Chap. V).
Les deux premiers cas (potentiel perturbateur en x et x2 ) sont solubles exactement. On pourra par suite vérifier sur ces deux exemples que le développement de perturbation coïncide avec le développement limité de la solution exacte par rapport au paramètre qui caractérise l’intensité de la perturbation. Le dernier cas (potentiel perturbateur en x3) est très important dans la pratique. Considérons en effet un potentiel V (x), minimum en x = 0. En première approximation, on peut remplacer V (x) par le premier terme (en x2) de son développement de Taylor, ce qui revient à considérer un oscillateur harmonique et donc un problème soluble exactement ; le terme suivant du développement de V (x), proportionnel à x3, constitue alors la première correction à apporter à cette approximation. Le calcul de l’effet du terme en x3 est par suite nécessaire toutes les fois que l’on veut étudier l’anharmonicité des vibrations d’un système physique. Il permet par exemple d’évaluer les écarts du spectre de vibration des molécules diatomiques par rapport aux prévisions du modèle (purement harmonique) du Complément AV.
Nous utilisons les notations du Chapitre V. Soit :
l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique à une dimension de vecteurs propres …