Notes

• [1]
  La fonction d’onde des deux particules dépend de six variables (les composantes des coordonnées r et r′ des deux particules), et ne se représente pas aisément à trois dimensions. La Figure 2 est donc très schématique : les régions grisées sont celles dans lesquelles doivent se trouver r et r′ pour que la fonction d’onde prenne des valeurs notables.
• [2]
  On peut montrer facilement que l’opérateur P₂₁ ainsi défini ne dépend pas de la base {|u_i >} choisie.
• [3]
  Bien entendu, pour N = 2, la seule permutation possible est la transposition.
• [4]
  D’après la propriété énoncée au § B-2-b-β, on peut également fonder cette définition sur les seuls opérateurs de transposition : un opérateur de transposition quelconque laisse invariant un ket complètement symétrique et transforme un ket complètement antisymétrique en son opposé.
• [5]
  Le “théorème spin-statistique”, que l’on démontre en théorie quantique des champs, permet de considérer cette règle comme une conséquence d’hypothèses très générales. Il se pourrait cependant que ces hypothèses ne soient pas toutes correctes, et la découverte d’un boson de spin demi-entier ou d’un fermion de spin entier reste possible. Il n’est même pas exclu que, pour certaines particules, les kets physiques présentent des propriétés de symétrie plus complexes que celles qui sont envisagées ici.
• [6]
  Un calcul simple donne : pour les bosons, pour les fermions.
• [7]
  Notons que ce raisonnement vaut aussi bien pour des fermions que pour des bosons.
• [8]
  Nous ne considérons ici que les termes les plus importants de cet hamiltonien. Voir le Complément B_xiv pour une étude plus détaillée de l’atome d’hélium.
• [9]
  Le ket représentant l’état d’un noyau doit être antisymétrique séparément par rapport à l’ensemble des protons et par rapport à l’ensemble des neutrons.
• [10]
  Nous allons donner de ce problème un traitement simplifié destiné seulement à illustrer la relation entre le terme direct et le terme d’échange. En particulier, nous ignorons le spin des deux particules. Les calculs de ce paragraphe demeurent cependant valables dans le cas où les interactions ne dépendent pas du spin et où les deux particules sont initialement dans le même état de spin.