Chapitre 15. Corrélation

Sur une population, on considère deux variables aléatoires X et Y telles que :
➤ ou bien X est une variable contrôlée, Y une variable dépendante vérifiant les hypothèses du chapitre 14, et la régression de Y par rapport à X est affine ;
➤ ou bien le couple (X, Y) suit une loi normale à deux dimensions.
Soit ρ le coefficient de corrélation entre X et Y dans la population. Le problème consiste à estimer ρ.On tire de la population un échantillon de n couples (xi, yi) et on lui associe son coefficient de corrélation : r=\frac{\operatorname{Cov}(x, y)}{s_{e}(x) s_{e}(y)}
où \operatorname{Cov}(x, y)=\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)-\bar{x} \bar{y} est la covariance de l’échantillon, et où se(x) et se(y) sont les écarts type des échantillons respectifs {x1,…,xn} et {y1,…,yn}.
Soit R la variable aléatoire qui prend la valeur r quand on répète les échantillons de taille n.
En général, on retient r comme estimation ponctuelle de ρ.
Parfois, on utilise une estimation plus précise : r\left(1+\frac{1-r^{2}}{2(n-3)}\right).
Soit z′ le nombre défini par z^{\prime}=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\arg \text { th } r (lire : argument tangente hyperbolique de r), et Z′ la variable aléatoire qui prend la valeur z quand on répète les échantillons de taille n.
Soit ζ le nombre défini par \zeta=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)=\arg \text { th } \rho.
Cette approximation est convenable pour n ≥ 20…