Les problèmes qui suivent vont explorer le monde des nombres complexes. En sus des rappels, ils requièrent des connaissances élémentaires en analyse : savoir étudier une fonction d’une variable réelle (par le signe de la dérivée), connaître la continuité, calculer des limites et connaître les règles usuelles de manipulation des inégalités. Il est important d’en savoir aussi un minimum sur les suites réelles: suites arithmétiques, géométriques, opérations sur les limites et le théorème de la limite monotone « toute suite bornée monotone converge ». Le classement de ces problèmes n’est que très relatif. Les nombres complexes sont par nature un point de croisement des mathématiques…
Corrigé 3.1.1.1 page 139. On s’intéresse dans problème à la construction à la règle et au compas d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, en lien avec les valeurs des cosinus et sinus de \pi / 5. On est amené à travailler sur les racines d’un polynôme de degré 2 (cf. 1.5.2 page 43 ). Ceci permet de visualiser les racines cinquièmes de l’unité (cf. 1.6 page 45).
Soient a \neq 0, b et c trois complexes. Montrer que si l’équationpossède deux solutions distinctes z_1 et z_2, alors elles vérifient
On exploitera pour ce faire le système de deux équations fourni par l’équation satisfaite par ces deux solutions.
En déduire que a z^2+b z+c=a\left(z \vdash z_1\right)\left(z-z_2\right).
On pose \omega=e^{i \frac{2 \pi}{5}}, \alpha=\omega+\omega^4, \beta=\omega^2+\omega^…