7. Optimisation avec contraintes : notions de base et méthode duale

Des contraintes apparaissent dans la très grande majorité des problèmes d’optimisation. Il convient dès lors de les prendre en compte dans la minimisation de la fonction objectif, de manière à mettre en évidence une solution optimale qui soit admissible, c’est-à-dire qui ne viole aucune des contraintes du problème d’optimisation. Comme évoqué précédemment, les contraintes peuvent être de deux types : les contraintes de borne, qui portent sur les variables, et les contraintes générales, qui portent sur les résultats. Les contraintes générales, à leur tour, peuvent être classées en contraintes d’égalité ou d’inégalité. Dans le cas d’une minimisation de la fonction objectif f0(x), x = {xi, i = 1,…, n} étant le vecteur des variables de conception, le problème d’optimisation avec contraintes s’écrit sous la forme suivante :
Dans ce problème, on a p contraintes d’égalité et m contraintes d’inégalité. On a 2n contraintes de borne : ces contraintes portent sur chaque variable xi. prise séparément et la comparent à une borne inférieure et à une borne supérieure. Les contraintes d’inégalité sont de la forme « ≤ ». De nombreuses méthodes d’optimisation avec contraintes existent. Pour les comprendre, il faut d’abord expliquer quelles sont les conditions d’optimalité d’un problème d’optimisation avec contraintes. Ces conditions s’appellent les conditions d’optimalité de Kuhn-Tucker [1,2]. Avant de les aborder, il est intéressant de rappeler les notions de contraintes concaves ou convexes et de domaine convexe…