8. Optimisation avec contraintes : autres méthodes

Dans les méthodes duales exposées dans le chapitre précédent, on travaille sur l’ensemble des variables duales λ. Ce sont en pratique les multiplicateurs de Lagrange grâce auxquels on identifie l’ensemble des contraintes actives à la solution. Une fois cet ensemble connu grâce à la solution du problème d’optimisation (7.31), les relations primales-duales permettent d’identifier la valeur des variables primales x. A contrario, on peut bien évidemment mettre en évidence des méthodes d’optimisation qui travaillent directement dans l’espace des variables primales x : ce sont les méthodes primales, expliquées ci-après.
On traite ici le cas d’une fonction objectif non linéaire et de contraintes linéaires. On discutera ensuite la généralisation aux contraintes non linéaires.
La figure 8.1 représente un problème de minimisation à deux variables, avec contraintes. Le domaine de conception est pour cet exemple limité par cinq contraintes linéaires. Les iso-valeurs de la fonction objectif, dont le minimum non contraint est représenté par un point blanc, sont dessinées en traits fins. On désire trouver le minimum de la fonction objectif f0(x) tout en restant à l’intérieur du domaine admissible délimité par les m contraintes d’inégalité. L’optimum contraint est également représenté sur cette figure. En définissant les contraintes de la manière suivante :
le problème d’optimisation traité ici s’écrit :
Partant de la valeur courante des variables de conception x, s étant la direction de descente e…