Fiche 81. La résolution de l’équation de diffusion
Pages 216 à 217
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- GAUTRON, Laurent,
- BALLAND, Christophe,
- CIRIO, Laurent,
- MAUDUIT, Richard,
- PICON, Odile
- et WENNER, Éric,
- Gautron, Laurent.,
- et al.
- Gautron, L.,
- Balland, C.,
- Cirio, L.,
- Mauduit, R.,
- Picon, O.
- et Wenner, É.
- L. Gautron,
- C. Balland,
- L. Cirio,
- R. Mauduit,
- O. Picon
- et É. Wenner
https://doi.org/10.3917/dunod.gautr.2021.01.0216
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- Gautron, L.,
- Balland, C.,
- Cirio, L.,
- Mauduit, R.,
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- et al.
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- BALLAND, Christophe,
- CIRIO, Laurent,
- MAUDUIT, Richard,
- PICON, Odile
- et WENNER, Éric,
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Le régime permanent est celui où toutes les grandeurs ne dépendent plus du temps.
Fiche 80
L’équation locale de la diffusion \begin{equation} \frac{\partial G}{\partial t}=D \cdot \Delta G\end{equation} (cas où gX
= 0 : milieu sans source) se simplifie puisque \begin{equation} \frac{\partial G}{\partial t}=0\end{equation}. Or, D ≠ 0, donc ΔG = 0 (équation de Laplace).
Dans la suite, seul le cas d’une diffusion unidirectionnelle (problème à une dimension, figure 81.1) est envisagé ce qui correspond à \begin{equation} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}=0\end{equation}. Par conséquent : \begin{equation} \frac{\partial G}{\partial x}=\operatorname{cste}=a\end{equation}, c’est-à-dire G = ax + b.
Les valeurs de a et b sont imposées par les conditions aux limites du milieu. L’exemple, figure 81.2, est celui d’une diffusion thermique dans un milieu de section S constante, d’épaisseur e, avec les températures T
1 et T
2 constantes.
La température T du milieu pour tout x compris entre 0 et e est \begin{equation} T=\left(\frac{T_2-T_1}{e}\right) x+T_1\end{equation}.
La densité de flux thermique est constante : \begin{equation} j=-\lambda a=\frac{\lambda}{e}\left(T_1-T_2\right)\end{equation} et le flux thermique à travers le milieu est également constant : \begin{equation} \Phi=j S=\frac{\lambda S}{e}\left(T_1-T_2\right)\end{equation}.
La situation étudiée est celle d’une diffusion particulaire unidirectionnelle dans un milieu de très grande longueur, de sectio…
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