Notes

• [1]
  Sauf lorsqu’on étudie explicitement les effets de surface, il faut éviter la tentation de décrire un cristal fini en restreignant la sommation sur R dans (10.4) aux sites d’une portion finie du réseau de Bravais. il est beaucoup plus pratique de sommer sur un réseau de Bravais infini (la somme convergeant rapidement à cause de la courte portée de la fonction d’onde atomique ψ_n) et de représenter le cristal fini avec la condition aux limites habituelle de Born-von Karman qui impose la restriction standard (8.27) à k, lorsque la condition de Bloch est vérifiée. Si la somme est prise sur tous les sites, par exemple, il est alors permis de remplacer la variable R′ par \(\mathbf{\bar{R}}=\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\), de la deuxième à la dernière ligne de l’équation (10.5).
• [2]
  Il s’avère que (voir page 221) toute fonction de Bloch peut être écrite sous la forme (10.6), la fonction ϕ étant appelée fonction de Wannier, et ainsi, cette hypothèse n’enlève aucune généralité à notre étude.
• [3]
  En n’incluant que les fonctions d’onde atomiques localisées (c’est-à-dire, liées) dans (10.7), nous faisons notre première approximation sérieuse. Un ensemble complet de niveaux atomiques inclut aussi les fonctions ionisées. C’est en ce point que la méthode cesse de s’appliquer aux niveaux bien décrits par l’approximation des électrons presque libres.
• [4]
  À cause de cette méthode d’approximation de ϕ, la méthode des liaisons fortes est parfois appelée méthode des combinaisons linéaires d’orbitales atomiques, (« linear combination of atomic Orbitals ») (LCAO).
• [5]
  Les intégrales contenant un produit de deux fonctions d’onde centrées sur différents nœuds du réseau sont appelées intégrales de recouvrement. L’approximation des liaisons fortes exploite la petitesse de ce recouvrement. Elles jouent aussi un rôle important dans la théorie du magnétisme (chapitre 32).
• [6]
  Les bases de cette dernière hypothèse sont moins stables que les autres, puisque les potentiels ioniques ne décroissent pas nécessairement aussi rapidement que les fonctions d’onde atomiques. Cependant, elle joue un rôle moins critique dans la détermination des conclusions que nous voulons atteindre, puisque le terme en question ne dépend pas de k. En un sens, ce terme corrige simplement les potentiels atomiques à l’intérieur de chaque maille pour inclure les champs des ions à l’extérieur de celle-ci ; il peut être rendu aussi petit que les deux autres termes par une redéfinition judicieuse de l’hamiltonien et des niveaux « atomiques ».
• [7]
  Remarquer la similarité de ce raisonnement avec celui que nous avons utilisé, aux pages 180 à 185. Là-bas, cependant, nous avions conclu que la fonction d’onde était une combinaison linéaire seulement d’un nombre faible d’ondes planes, dont les énergies d’électrons libres étaient très proches les unes des autres. Ici, nous concluons que la fonction d’onde peut être représentée, en utilisant (10.7) et (10.6), seulement par un nombre faible de fonctions d’onde atomiques, dont les énergies atomiques sont très proches les unes des autres.
• [8]
  Pour le moment, nous ignorons le couplage spin-orbite. Nous pouvons donc nous concentrer entièrement sur les parties orbitales des niveaux. On peut tenir compte du spin simplement en multipliant les fonctions d’onde orbitales par des spineurs appropriés, et en doublant la dégénérescence de chacun des niveaux orbitaux.
• [9]
  Le cas le plus simple est celui d’une bande s. Le cas le plus compliqué suivant, une bande p, est étudié dans le problème 2.
• [10]
  Ceci peut être démontré de manière très générale pour toute bande non dégénérée dans un cristal à symétrie cubique.
• [11]
  À comparer avec le cas des électrons presque libres (page 187), où le taux de variation de \(\mathcal{E}\) le long d’une droite normale à un plan de Bragg s’avérait toujours être nulle lorsque le plan était traversé en des points éloignés de tout autre plan de Bragg. Le résultat des liaisons fortes illustre la possibilité, plus générale, qui survient en raison de l’absence de plan de symétrie miroir parallèle à la face hexagonale.
• [12]
  Les bandes calculées sont tellement larges qu’elles jettent un doute sur la validité de la totalité du développement. Des calculs plus réalistes devraient tenir compte, au moins, des effets du niveau 4s.
• [13]
  Les « fonctions d’onde moléculaires approximatives » dépendront donc de k.
• [14]
  La prise en compte du couplage spin-orbite dans la méthode des liaisons fortes est étudiée par J. Friedel, P. Lenghart, and G. Leman, J. Phys. Chem. Solids 25, 781 (1964).
• [15]
  Une procédure difficile à réaliser au laboratoire, mais très tentante en tant que représentation théorique, pour comprendre la nature des bandes d’énergie.
• [16]
  Voir, par exemple, H. Jones, The Theory of Brillouin Zones and Electron States in Crystals, North-Holland, Amsterdam, 1960, p. 229.
• [17]
  Ici, v₀ est le volume dans l’espace des k de la première zone de Brillouin, et l’intégrale porte sur la zone. Les équations (10.27) et (10.28) (où r est considéré comme un paramètre fixe) sont tout simplement les équations (D.1) et (D.2) de l’appendice D, avec les espaces direct et réciproque interchangés.
• [18]
  Un argument relativement simple, mais uniquement à une dimension, est donné par W. Kohn, Phys. Rev. 115, 809 (1959). On peut, trouver une étude plus générale dans E. I. Blount, Solid State Physics, Vol. 13, Academic Press, New York, 1962, p. 305.