Annexe 7. La dérivation de la prédiction du point blanc

Cette annexe expose la prédiction du point blanc à partir des intégrales de Fresnel telle qu’elle peut être trouvée dans un manuel d’optique moderne (Moeller 2007, p. 133) mais en n’utilisant que des outils mathématiques disponibles au début du xixe siècle. On commence par appliquer l’intégrale de Kirchhoff-Fresnel pour calculer l’amplitude u de l’onde lumineuse au centre de l’ombre d’un écran circulaire :
Dans cette formule, u est l’amplitude de l’onde au centre de l’ombre, A l’amplitude de l’onde à la source lumineuse et a est le rayon de l’objet circulaire. ρ0 est la distance entre l’onde diffractée et le centre de l’ombre et ρ0 est la distance entre le centre de l’objet circulaire et le centre de l’ombre (figure 1).\sqrt{a+\rho _{0}^{2}} est alors la distance entre le bord de l’objet et le centre de son ombre. Ainsi, l’intégrale (1) représente la contribution de toute la lumière diffractée au centre optique de l’écran, c’est-à-dire le centre de l’ombre.L’intégration par parties de (1) donne :
En négligeant le membre de droite on obtient :
Pour résoudre cette équation, il faut supposer qu’à l’infini, l’onde lumineuse n’est pas diffractée et donc que les rayons à l’infini ont une contribution nulle à l’interférence constructive au centre de l’ombre. C’est la condition aux limites que l’on a notée comme indispensable dans le chapitre 6. Si on pose
alors (3) donne :
L’intensité I au centre de l’ombre ne dépend donc que de la longueur d’onde et est proportionnelle …