Chapitre 2. Mesures de probabilité

A ce point de notre modélisation, nous avons introduit un espace des possibles Ω et une tribu sur Ω, contenant tous les événements aléatoires. Puis, nous avons décrit un phénomène aléatoire grâce à une application mesurable X de l’espace (Ω, ) dans ou, plus généralement, dans . Cette description est qualitative, mais nous souhaiterions aussi en avoir une description quantitative. On voudrait pouvoir associer à chaque événement aléatoire un nombre qui représenterait sa “probabilité” – au sens usuel – de se réaliser. Nous allons prendre l’exemple du tirage au hasard d’une boule dans un sac de n boules constitué de b bleues, r rouges et n − b − r blanches. Le terme au hasard signifie que chaque boule a autant de chance d’être tirée. L’espace Ω est ici le sac de n boules et nous choisissons pour tribu l’ensemble . Soit A l’événement aléatoire “la boule est rouge”, c’est-à-dire le sous-ensemble constitué des r boules rouges. Intuitivement, on a r chances sur n de tirer une boule rouge donc la “probabilité” associée à A serait de . Remarquons que la “probabilité” de l’événement . Cette “probabilité” possède les propriétés suivantes :P(Ø) = 0 et P(Ω) = 1,
0 ≤ P(A) ≤ 1,
si (Ap)p∈{1,…,N} est une suite d’événements deux à deux disjoints,

Des événements (Ai)i∈ℕ sont dits deux à deux disjoints si i ≠ j implique que Ai∩Aj = Ø, pour tout i, j ∈ ℕ. La définition mathématique d’une probabilité devra donc au moins satisfaire ces conditions. Cependant, si l’on considère d’autres exemples de phénomènes aléatoires, où Ω n’est plus fini, nous serons amenés à considérer des unions qui ne son…