Un faisceau de rayons parallèles arrive sur une sphère transparente de rayon R et d’indice n. Les rayons sont réfractés par la première interface, puis ils peuvent être réfractés sur la seconde, ou subir une réflexion interne sur la sphère. Ces derniers peuvent à leur tour être réfractés vers l’extérieur, ou subir une nouvelle réflexion, etc. Nous allons étudier successivement ces différentes situations, qui permettront d’aborder l’arc-enciel.
Intéressons-nous tout d’abord aux rayons qui ne subissent aucune réflexion interne. Pour chaque rayon incident, nous noterons (x1, y1) les coordonnées du point A1 où le rayon atteint la sphère (l’origine O du repère est choisie au centre de la sphère), puis (x2, y2) celles du point A2 où le rayon réfracté atteint de nouveau la surface. En introduisant l’angle d’incidence i, on a
Le premier rayon réfracté A1 A2 est incliné par rapport à l’axe optique d’un angle
où r désigne l’angle réfracté, lié à i par la relation de Snell-Descartes. Pour tracer ce rayon, il faut calculer les coordonnées (x2, y2). Le segment OA2 fait un angle π − 2r avec le segment OA1, ce qui permet d’exprimer l’angle φ2 que fait OA2 avec OS commepuis
Le rayon émergent part du point A2 et son inclinaison est celle du rayon précédent, augmentée de i − r, ce qui donne tous les éléments pour le tracer. C’est ce que fait le programme suivant, dans lequel on a pris R comme unité de longueur (c’est-à-dire que R = 1 dans cette unité). Les lignes 10 à 20 reprennent les calculs exposés plus haut…