1 – La métrique a pour forme générale avec x0 = t. Dans notre cas, l’hypothèse d’isotropie spatiale (autrement dit, l’absence de direction privilégiée) implique que l’on peut synchroniser les horloges de tous les observateurs fondamentaux : la condition de cette synchronisation globale est donc pour i ∈ ⟦1, 3⟧, en tout point de l’espace-temps (voir l’exercice page 87). Quant au coefficient , un observateur fondamental mesurera, le long de sa ligne d’Univers, un intervalle de temps propre infinitésimal dτ tel que
étant donné que dx1 = dx2 = dx3 = 0. Comme, par définition, on a défini cet observateur pour que τ = t, on trouve . Conclusion, la métrique peut s’écrire sous la formeavec (i, j) ∈ ⟦1, 3⟧2 et . Enfin, l’isotropie spatiale implique également la conservation des angles au cours du temps ; les coefficients gij, traduisant la métrique de l’hypersurface Σt, ne peuvent donc dépendre que globalement du temps et sont de la forme , où les γij sont des fonctions des coordonnées spatiales uniquement et une fonction positive de t.2(a) – La symétrie de l’expression (8.1), rajoutée aux règles de symétrie des composantes du tenseur de Riemann (voir exercice page 55), montre qu’il n’y a plus qu’une seule composante indépendante et qu’elle reste constante sur toute l’hypersurface Σt. Les composantes du tenseur de Ricci s’écrivent
et, par définition, la courbure scalaire est
Elle est donc constante sur tout Σt.2(b) – En reprenant le raisonnement fait dans l’exercice page 109, l’isotropie spatiale postulée par le principe cosmologique correspond à une symétrie sphérique autour de n’importe quel point de Σ…