Le chapitre précédent ayant introduit les tenseurs sur l’espace vectoriel E associé à l’espace-temps de Minkowski ℰ, nous passons à présent à la notion de champ tensoriel, c’est-à-dire à la donnée d’un tenseur en chaque point de ℰ. Ce chapitre et le suivant, consacré à l’intégration des champs tensoriels, sont purement mathématiques. Ils introduisent les outils de base pour les chapitres plus physiques qui vont suivre (électromagnétisme, hydrodynamique et gravitation).
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré comme coordonnées sur l’espacetemps ℰ tout entier que des coordonnées affines (§ 1.1.3). Dans le cas où la base vectorielle associée est orthonormale, ces coordonnées affines correspondent physiquement au référentiel d’un observateur inertiel (coordonnées inertielles, § 8.1.3). Au niveau local, au voisinage d’une ligne d’univers, il existe bien entendu les coordonnées relatives à un observateur (§ 3.3.2). D’un point de vue mathématique, on peut cependant introduire sur ℰ n’importe quel type de coordonnées, comme par exemple des coordonnées curvilignes.
On appelle système de coordonnées sur ℰ toute application
qui est injective (Φ est alors une bijection entre ℰ et Φ(ℰ)) et telle que Φ et Φ–1 sont toutes deux différentiables (on dit que Φ est un difféomorphisme).
Exemple 1 : Tout système de coordonnées affines sur ℰ (§ 1.1.3) est évidemment un système de coordonnées au sens défini ci-dessus.
Exemple 2 : Étant donné un système de coordonnées inertielles d…