Un signal causal est un signal de valeurs nulles pour les temps négatifs (figure 48).x(t) est causal si et seulement si x(t) = 0 pour tout t < 0;x(t) est anti-causal si et seulement si x(t) = 0 pour tout t > 0.Remarques :dans le cas d’un filtre que l’on veut réaliser en temps réel, il va de soi que sa réponse ne peut être antérieure à l’excitation. C’est pourquoi on impose que sa réponse impulsionnelle soit causale. Donc l’effet ne peut jamais précéder la cause ;
en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et la transformée de Fourier d’un échelon, on montre que pour un signal causal x(t), on a :
Cette dernière relation est la relation de Kramers-Kronig.Démonstration de la relation Kramers-Kronig pour un signal réel causal : Soient x(t) un signal réel causal et X(f) = A(f) + jB(f) sa transformée de Fourier, avec A(f) sa partie réelle et B(f) sa partie imaginaire. x(t) peut être exprimé comme étant la somme de deux signaux xI(t), un signal impair, et xP (t), un signal pair :
avec
et XP (f) (resp. XI(f)) représente la transformée de Fourier de xP (t) (resp. xI (t)). En se basant sur les deux dernières équations, on constate que :
avec sgn(t) est la fonction signe qui est définie par
En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier présentes en question 22, on trouve que :XP(f) doit être une fonction réelle et paire ;XI(f) doit être une fonction imaginaire pure et impaire.
Comme x(t) = xP (t) + xI (t) ⇒ X(f) = XP (f) …