53. Que traduit le phénomène de Gibbs ?

En 1848, Wilbraham a mis pour la première fois ce phénomène en évidence. En 1898, Albert Michelson développa un système mécanique capable de calculer et sommer la série de Fourier d’un signal donné en entrée. Il observa alors un effet d’amplification à proximité des discontinuités du signal initial, qui persistait malgré l’augmentation du nombre de coefficients calculés. Gibbs montra que ce phénomène était d’origine mathématique et se produisait dans des conditions très générales.
Le phénomène de Gibbs explique les effets de la troncature d’un signal dans le domaine temporel ou fréquentiel induit dans le domaine dual. Par exemple, si on supprime les hautes fréquences d’un signal, ce dernier est « peu modifié » excepté au voisinage de ses discontinuités où l’on voit apparaître des oscillations.
Exemple.–
Considérons la décomposition en série de Fourier d’un signal rectangulaire.
En utilisant trois harmoniques, on obtient ainsi l’approximation suivante :On constate qu’à partir de 10 harmoniques, la phénomène de Gibbs est mis en évidence.
En utilisant, un nombre plus important d’harmoniques, on constate que l’amplitude maximale des oscillations est approximativement égale à 9% de l’amplitude de la discontinuité.
Exemple.–
Soit une fonction porte de durée T. Sa transformée de Fourier a la forme d’un sinus cardinal d’après la question 20. On tronque alors son spectre après le deuxième lobe secondaire, et on effectue la transformée de Fourier inverse pour observer les modifications apportées sur le signal initial : des oscillations apparaissent autour des discontinuités…