Dans ce complément, nous allons montrer qu’il existe un homomorphisme appliquant le groupe SU(2) sur le groupe SO(3), c’est-à-dire qu’il est possible d’établir une correspondance entre chaque matrice de SU(2) et une matrice de SO(3) telle qu’au produit matriciel dans SU(2) corresponde le produit dans SO(3). Rappelons que, par définition, SU(2) est le groupe des matrices 2 × 2 complexes unitaires et unimodulaires (déterminant de U = +1), et que SO(3) est le groupe des matrices de rotation dans l’espace ordinaire [groupe R(3)], c’est-à-dire des matrices 3 × 3, orthogonales (unitaires et réelles) et unimodulaires. Nous avons déjà noté que chacun de ces deux groupes de Lie est de dimension 3.
L’expression générale M(a) des matrices de SU(2) a déjà été écrite en (III-77). Si l’on veut obtenir toutes les matrices de SU(2) dont le paramètre a est parallèle à une direction u donnée, il faut faire varier a entre 0 et 4π, comme l’illustre la figure 11 du chapitre III. Quant aux matrices de rotation, elles ont été étudiées au § 1-b du complément BV et au § A-4-c du chapitre VII, où nous les avons également décrites par un paramètre a, mais dont le module a est limité à π.
Considérons maintenant un vecteur P quelconque de l’espace réel à 3 dimensions, et notons Px, Py et Pz ses composantes. On peut lui associer une matrice hermitique 2 × 2, la matrice ρ définie par :
où 𝟙 est la matrice unité 2 × 2 et σx, σy, σz sont les trois matrices de Pauli [définitions (III-72)]. Ces matrices ont les propriétés bien connues …