Notes

• [1]
  Si l’espace des états ℰ est de dimension infinie, l’ensemble des T⁽ⁿ⁾ pour n fixé constitue en général un autre espace vectoriel de dimension infinie. Par exemple, le nombre d’opérateurs scalaires (ou vectoriels) linéairement indépendants est infini si on peut définir de façon indépendante des éléments de matrice réduits dans tous les ℰ (τ, j) (cf. § C-2). On ne confondra pas espace des opérateurs et espace des états ℰ (où agissent les éléments du premier espace).
• [2]
  Si n = 1, les composantes standard et les composantes sphériques découplées se confondent, mais ce n’est plus le cas dès que n ≥ 2, comme nous allons le voir.
• [3]
  La valeur J = 0 est également entourée pour n = 2 car c’est la première fois qu’elle est obtenue. Elle correspond à un opérateur scalaire (invariant par rotation).
• [4]
  Les sous-espaces irréductibles obtenus, ainsi que la base standard que l’on peut construire, ne sont évidemment pas les mêmes si l’on change le schéma de couplage des moments cinétiques.
• [5]
  Si la somme Q des indices m vaut K, ou K − 1, on voit même que toutes les composantes associées à la même valeur de cette somme sont égales. Cette propriété n’est cependant pas générale quel que soit Q [cf. formules (VIII-47a)], mais reste en fait limitée à Q = ±K, Q = ±(K − 1) (toujours si K = n).
• [6]
  Le tenseur

  

  est la partie tensorielle irréductible extraite du produit tensoriel

  

  . On peut la noter :

  
• [7]
  On notera cependant que P · S n’est pas invariant par parité (il se change en son opposé par symétrie par rapport à un point, cf. complément D_V) et que R · L n’est pas invariant par renversement du temps (cf. appendice I).
• [8]
  Les notations différentes |τ, J, M〉 et |k, J″, M″〉 sont utilisées pour insister sur le fait que ces kets n’appartiennent pas nécessairement à une même base standard. La décomposition de |k, J″, M″〉 sur les |τ, J, M〉 peut donc faire intervenir plusieurs valeurs de τ.
• [9]
  La simplicité de la relation (VIII-98) explique l’introduction arbitraire du coefficient

  

  dans le dénominateur du second membre de (VIII-97).
• [10]
  On suppose les vecteurs de la base standard rangés par valeurs décroissantes de M.
• [11]
  Il ne faut pas prendre trop au pied de la lettre cette analogie classique du théorème de projection en mécanique quantique. Ce théorème donne une propriété instantanée des opérateurs où le temps ne joue aucun rôle, alors que v ne se moyenne à v_// qu’au bout d’un temps suffisamment long.
• [12]
  En pratique, il faut des champs magnétiques de l’ordre de 0,1 tesla (1000 gauss) pour modifier notablement les caractéristiques des raies Zeeman émises par les atomes d’une vapeur à température ordinaire.
• [13]
  Voir par exemple le complément A_XIII de la réf. [10].
• [14]
  Ce serait le corps des réels si l’on se restreignait aux opérateurs hermitiques.
• [15]
  Tout opérateur A peut s’écrire A = A_R+i_AI, où A_R et A_I sont les deux opérateurs hermitiques (donc diagonalisables), donnés par A_R = (A + A^†)/2 et A_I = (A − A^†)/2i. On a alors :
  

  

  Chacune de ces traces est la somme de carrés de nombre réels, donc positive, ce qui démontre (VIII-128b). Ces sommes ne peuvent s’annuler que si toutes les valeurs propres de A_R et de A_I sont nulles, donc si A_R et A_I ainsi que A sont nuls.