Dans le § B du chapitre IV, nous avons énoncé le théorème de Wigner dans sa forme la plus fréquemment rencontrée, où l’on suppose la conservation de la norme du produit scalaire des vecteurs d’état lors d’une transformation de symétrie. La démonstration de ce théorème a été généralisée par plusieurs auteurs, dont Uhlhorn [18]. Ce dernier a proposé une forme plus générale et rigoureuse du théorème, où la conservation du produit scalaire n’est supposée que dans le cas particulier où il est nul. Ainsi, au lieu de postuler la conservation de toutes les probabilités, on impose seulement la conservation de celles qui sont nulles (indiquant des impossibilités de résultats de mesure). La référence [20] fournit une mise en perspective de la démonstration du théorème de Wigner, ainsi que de généralisations possibles (quaternions). Le but de ce complément est d’introduire la version de Uhl- horn du théorème de Wigner : nous supposerons que deux vecteurs d’état orthogonaux sont transformés en deux autres vecteurs orthogonaux, sans aucune hypothèse sur le cas “oblique” où le produit scalaire est quelconque.
Reprenant le § B du chapitre IV, nous considérons donc les transformation des “rayons”, c’est-à-dire des vecteurs de l’espace des états définis modulo un facteur multiplicatif (complexe) près. Notre objectif est de montrer que, si une transformation conserve la nullité de tous les produits scalaires des rayons, alors dans l’espace des états elle est nécessairement équivalente à une transformation, soit unitaire, soit antiunitaire…