Chapitre 7. Applications linéaires

Nous avons déjà évoqué (voir 5.2) l’article que Giuseppe Peano écrit en 1888 et dans lequel il définit les espaces vectoriels et les applications linéaires entre espaces vectoriels : ce sont des applications qui ont la propriété de conserver les sommes de vecteurs et le produit par un scalaire. Il définit également la composée de deux applications linéaires et l’inverse d’une application linéaire.
Ce n’est que 30 ans plus tard que cette définition a montré tout son intérêt pour formaliser les problèmes qui se posaient dans d’autres champs des mathématiques comme l’analyse fonctionnelle que développa Stefan Banach.
Bien sûr, l’idée de linéarité était beaucoup plus ancienne et des mathématiciens comme Jean Bernoulli ou Euler en avaient déjà utilisé les propriétés pour parler de la dérivation, des différences finies ou encore des changements de repères. Mais ils n’appliquaient la linéarité qu’aux objets sur lesquels ils travaillaient. Pour parler d’application linéaire, il faut faire agir l’application linéaire, non seulement sur les objets sur lesquels on travaille, mais sur tous les objets du même type, autrement dit penser à l’espace vectoriel engendré par ces objets ou même à un espace encore plus grand.
Définition 1 : application linéaire. Soient E et F deux espaces vectoriels sur \mathbb{R}. On appelle application linéaire de E dans F la donnée d’une application f : E → F telle que :
ou, de manière équivalente (vérification facile) :
On peut remplacer dans cette définitio…