Chapitre 8. Matrices

Soient E un espace vectoriel de dimension finie p ⩾ 1 et F un espace vectoriel de dimension finie n ⩾ 1. On note B = (e 1, …, ep ) une base de E et C = (ε 1, …, εn ) une base de F. Ce chapitre est un chapitre montrant comment calculer quand on travaille dans les espaces vectoriels avec des applications linéaires. Les bases sont toutes ordonnées, ce que réalise l’indexation des vecteurs par les entiers 1, 2, …
On a vu qu’une application linéaire était déterminée par les images des vecteurs de base (voir la propriété universelle du chapitre précédent). Donc, si f : E → F est une application linéaire, elle est déterminée par les vecteurs f (e 1), …, f (ep ).
Chacun de ces vecteurs est défini par ses coordonnées dans la base C. La notation de ces coordonnées nécessite un double indice. On notera aij la i-ième coordonnée dans la base C de l’image f (ej ) du j-ième vecteur de la base B. Ces np coefficients sont regroupés dans un tableau de n lignes et de p colonnes, appelé matrice de l’application linéaire f par rapport aux bases B et C qu’on présente de la façon suivante :
Exemple. Si B = (e 1, e 2, e 3) est la base canonique de {{\mathbb{R}}^{3}}, et si C = (ε 1, ε 2) est la base canonique de {{\mathbb{R}}^{2}}, l’application linéaire f:{{\mathbb{R}}^{3}}\to {{\mathbb{R}}^{2}} définie par f (e 1) = 2ε 1 – ε 2, f (e 2) = 5ε 2, f (…