Chapitre 6. Bases et dimension

On a vu au chapitre 3 que tout vecteur de {{\mathbb{R}}^{n}} s’exprime d’une façon unique comme combinaison linéaire des n vecteurs de la base canonique de {{\mathbb{R}}^{n}}. Cette propriété a un double avantage : d’une part, on peut exprimer n’importe quel vecteur en fonction de ces n vecteurs particuliers. D’autre part, on peut comparer du premier coup d’œil deux vecteurs u et v de {{\mathbb{R}}^{n}} : comme chacun d’eux ne s’écrit que d’une seule façon comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique : u=\sum\nolimits_{1\leqslant i\leqslant n}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}}, v=\sum\nolimits_{1\leqslant i\leqslant n}{{{y}_{i}}{{e}_{i}}}, on a u = v si xi = yi pour tout i de 1,…, n et u ≠ v s’il existe un i (un seul suffit) tel que xi ≠ yi .
C’est pour permettre de calculer dans les espaces vectoriels que nous allons définir en toute généralité la notion de base.
La première propriété de la base canonique de {{\mathbb{R}}^{n}} que nous cherchons à étendre aux espaces vectoriels est que tout vecteur de {{\mathbb{R}}^{n}} s’exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique.
Soit donc E un espace vectoriel.
Définition. Une famille finie (u 1,…,up ) de vecteurs de E telle que Vect (u 1,…,up ) = E est appelée famille génératrice de E. Autrement dit, la famille (u 1,…,up ) est une famille génératrice de E si tout vecteur de E est une combinaison linéaire de vecteurs de cette famille…