Les suites récurrentes sont utiles pour calculer rapidement et précisément certains nombres réels ; elles sont à la base d’une partie des calculs numériques sur les ordinateurs.
Dans ce chapitre, la situation la plus fréquente est la suivante. On se donne un intervalle fermé I de ℝ et une fonction continue f : I → ℝ telle que f (I) ⊂ I. La donnée d’un élément u0 ∈ I permet de définir une suite u = (un) en posant, pour tout n ⩾ 0 : un+1 = f (un). Une récurrence immédiate montre que la suite u est bien définie, puisque si, pour un n ⩾ 0, un est défini et est élément de I, alors un+1 = f (un) est défini et est élément de I. La suite est dite définie par récurrence et on parle de suites récurrentes.
Suivant la fonction f et le premier terme u0, la suite (un) ainsi définie peut avoir des comportements très variés.
Dans ce qui suit, nous nous intéressons à des situations où les résultats sur les réels, les suites, les fonctions continues, le TAF et son inégalité corollaire s’appliquent.
L’approche graphique est qualitative. Elle est illustrée par la figure 8.1 : le terme un+1 est construit en ordonnée à partir de un en utilisant le graphe de f (en trait plus large) ; la première bissectrice, d’équation y = x, permet de reporter un+1 en abscisse ; on peut alors recommencer en construisant un+2 à partir de un+1 en utilisant le graphe de f. On voit que le pointillé épais dessine ici un escalier ; dans d’autres exemples, il pourra dessiner un colimaçon (escargot) ou d’autres figures plus compliquées…