La mesure de l’aire d’un rectangle comme produit des longueurs de ses côtés est bien connue.
Ce simple résultat est à la base de la mesure des aires. Dans ce chapitre, nous construisons un outil, l’intégrale de Riemann, pour mesurer des aires limitées par des fonctions bornées (ayant de bonnes propriétés) sur des intervalles bornés.
La démarche mathématique mise au point au xixe siècle est la suivante.
Comme on sait calculer la surface d’un rectangle, on peut calculer l’aire sous la courbe représentant une fonction en escalier sur un intervalle I (fonction constante sur chacun des intérieurs des intervalles d’une partition de I) comme une somme finie d’aires de rectangles.
Pour une fonction plus générale, l’idée est d’encadrer la courbe par des fonctions en escalier, les unes au-dessus de la courbe et les autres au-dessous. On cherche à voir si on peut rendre l’aire intermédiaire aussi petite qu’on veut.
Si l’idée paraît finalement simple, elle ne s’est imposée qu’au bout d’une longue série d’efforts dont l’histoire éclaire la difficulté.
Démocrite, dont on n’a aucun texte, aurait expliqué que, quand on divise une grandeur géométrique à l’infini, la dernière figure qu’on obtient ne peut être qu’indivisible.
Dans ses Éléments, écrits vers −300 à Alexandrie, Euclide utilise plusieurs fois une sorte de passage à l’infini pour établir des égalités d’aires ou de volumes. Sa démarche est particulièrement extraordinaire dans sa démonstration de la formule donnant le volum…