Une équation différentielle (nous abrégerons en ED) du premier ordre est une équation où apparaissent une fonction inconnue y dérivable, sa dérivée y′ et la variable x ; on dit qu’elle est du premier ordre pour indiquer la présence de la dérivée d’ordre 1 de la fonction inconnue. Un usage assez général est de noter y cette fonction inconnue et x la variable.
Les résultats importants de ce chapitre concernent des ED qui peuvent se mettre sous la forme :
où F est une fonction définie sur un certain sous-ensemble U de ℝ2.
1) L’équation différentielle xy′ + y = 1 est une ED d’ordre 1 ; elle se met sous la forme y^{\prime} = \frac{1-y}{x} (on a F : ℝ∗ × ℝ avec F(x, y) = \frac{1-y}{x}).
2) Une ED de la forme y′ = f (x) conduit simplement à un calcul de primitives de la fonction f.
Une solution de (13.1) est un couple (I, y) où I est un intervalle (non réduit à un point) de ℝ et y : I → ℝ une fonction de classe \mathcal{C}^1 satisfaisant (13.1).
Comme on a dit en 2.2.1 que la définition d’une fonction incluait la donnée de son espace de départ, on ne devrait pas avoir besoin de présenter les solutions d’ED comme des couples, mais on va voir que la résolution des ED conduit à des formules donnant les fonctions solutions et qu’on a tendance à oublier de préciser les intervalles de définition.
On s’apercevra aussi en traitant des exemples que les intervalles ne sont pas toujours visibles a priori sur l’équation.
Si une fonction définie sur un intervalle est solution d’une ED, sa restriction à un intervalle plus petit est solution de la même ED…