On définit l’image H μ d’une mesure σ-finie μ et on énonce des conditions suffisantes pour la H μ-mesurabilité et la H μ-intégrabilité. On observe ce qu’on appelle la “ catastrophe de la mesure image “. La considération des mesures de Radon évite cet inconvénient et on le voit nettement en établissant des conditions nécessaires et suffisantes de H μ-mesurabilité et H μ-intégrabilité dans cette nouvelle situation. On examine ensuite le cas particulier où un espace localement compact et μ une mesure de Radon définie comme dans le § 4. On achève ce § en examinant le cas où μ est une mesure vectorielle de base positive et on donne de nombreux exemples de mesures images.
Soient (X, \mathcal{S}, μ) un espace mesuré σ-fini, (Y,\mathcal{T}) un espace mesurable, H une application de X dans Y (\mathcal{S}, \mathcal{T})-mesurable. On suppose qu’il existe une suite (Yn) d’ensembles \mathcal{T}-mesurables de Y telle que
Pour tout ensemble B, \mathcal{T}-mesurable de Y, on pose
Théorème 5.11.1. - Alors sous la condition (5.11.1), la formule (5.11.2) définit une mesure σ-finie sur \mathcal{T}. En particulier si μ est finie (resp. une probabilité) il en est de même pour H μ.Cette mesure possède les propriétés suivantes :1 - Si A est H μ-négligeable alors H-1(A) est μ-négligeable.1 - Si A est H μ-mesurable alors H-1(A) est μ-mesurable
Démonstration : - Il suffit de remarquer que d’une part {{H}^{-1}}(\emptyset)=\emptyset et d’autre part si (En) est une suite d’ensembles deux à deux disjoint…