Partie II. Travailler avec les complexes

1) Développons le produit et utilisons la relation i 2 = −1 ; nous obtenons2) Multiplions le numérateur et le dénominateur par 1 + 3i, le conjugué du dénominateur :
Multiplions numérateur et dénominateur de Z=\frac{a z+b}{c z+d} par le conjugué de cz + d pour rendre le dénominateur réel et obtenir la forme algébrique de Z. On a \overline{c z+d}=c \bar{z}+d et le numérateur devient
On a \operatorname{Im}(N)=\operatorname{Im}(a d z+b c \bar{z})=(a d-b c) \operatorname{Im}(z), d’où le résultat. Le site BRAISE donne une méthode un peu différente en calculant Z-\bar{Z}.
L’idée est d’utiliser les deux inégalités triangulaires pour encadrer le numérateur et le dénominateur.
L’inégalité || z_1|-| z_2|| \leqslant\left|z_1+z_2\right| \leqslant\left|z_1\right|+\left|z_2\right| permet d’encadrer le numérateur :|| z|-1| \leqslant|z-i| \leqslant|z|+1. Comme 2 \leqslant|z| \leqslant 3, on a 1 \leqslant|z-i| \leqslant 4.
De même, pour le dénominateur, on a :|| z|-\sqrt{2}| \leqslant|z-1+i| \leqslant|z|+\sqrt{2}, donc \forall z \in D, \quad 2-\sqrt{2} \leqslant|z-1+i| \leqslant 3+\sqrt{2}.
Par suite, pour le quotient :Pour z \neq 1, on a
d’où, avec l’inégalité triangulaire
Comme |z| \neq 1, on a
ce qui fournit le résultat.1) On factorise par le module \left|\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2} pour obtenir :
On reconnaît alors2) De même, 1-i=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2} e^{-i \pi / 4}.3) Utilisant les calculs précédents, on obtien…