L’analyse dimensionnelle se rencontre un peu partout, aux quatre coins de la physique, omniprésente et précieuse. Elle n’a certes pas pour vocation de prendre la place, au pied levé, d’un calcul rigoureux fondé sur des considérations théoriques avérées. Mais elle guide, comme en filigrane, la main calculatrice tout au long du chemin, et saurait la retenir efficacement si d’aventure un résultat ou une formule faisait mine de s’écarter de l’« homogénéité » qu’elle exige sans faille. On la sollicite plus explicitement dans les évaluations d’ordres de grandeur, ou bien dans le but de délimiter la validité d’une approximation, ou même – comme nous faisons ici pour illustrer ses vertus – afin de trouver ou retrouver l’expression cruciale d’un paramètre physique pertinent. « Nous l’allons montrer tout à l’heure » sur des exemples touchant à des problèmes fort dissemblables.
L’atome d’hydrogène, ci-devant archétype, a été traité d’emblée comme quantique – présence de ħ –, mais non relativiste – absence du paramètre c. L’analyse dimensionnelle va nous conforter dans ce sentiment intuitif – et le faire admettre aux disciples de Thomas apôtre. Il nous faudrait pour cela l’expression d’une vitesse typique de l’électron ; nous pourrions alors constater que son quotient par c, caractère distinctif de la relativité – vitesse de la lumière dans le vide, et des photons – s’avère nettement inférieur à 1.
Nous allons rechercher dans cet esprit un nombre sans dimension, que nous établirons à l’aide d…