« Et le [physicien] se plaignait / Que les soins de la Providence / N’eussent pas au marché » des grandeurs mesurables / Fait figurer la renommée / Comme le courir et le choir (d’après J. de La Fontaine). Eût-elle, cette vertu, admis une estimation quantitative, qu’on eût enregistré, auprès de l’« équation de la chaleur », une valeur considérable, élevée certes, mais moindre cependant qu’auprès de l’équation de propagation qui nous a occupés naguère. Celle-ci en effet, parangon en la matière, atteignait à une manière de perfection formelle, découlant en droite ligne, sans nulle approximation, des postulats fondateurs de l’Électromagnétisme (équations de Maxwell). En revanche il s’agit ici, avec l’équation de la chaleur – dite aussi « équation de la diffusion » –, d’une loi foncièrement phénoménologique, « empirique » si l’on préfère le terme. Prenons-la néanmoins, sans plus attendre, pour ce qu’elle est – et pour les enseignements qu’on en peut tirer – :
Elle concerne une situation où la température T varie selon l’endroit et selon le moment, c’est-à-dire où, pour décrire cette quantité, il faut faire appel à une fonction des coordonnées x, y, z du point courant de l’espace ainsi que du temps t, qui s’écrira T = T(x,y,z ;t). Le symbole Δ désigne à nouveau l’opérateur laplacien : . Le « coefficient de diffusion thermique » D, accessible à la mesure, sera considéré constant dans le domaine spatial et temporel à explorer.
Un coup d’œil irréfléchi laisse peut-être penser que l’équation nouveau-venue se prêtera comme l’ancienne aux jeux du cirque…