Notes

• [1]
  Charles W. Misner, Kip S. Thorne, & John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973.
• [2]
  Pour en savoir plus sur les diverses interprétations de la théorie quantique et leurs implications pour les discussions de ce livre, le lecteur pourra consulter les annexes en ligne.
• [3]
  L’état quantique donne ces probabilités par un processus en deux étapes. Dans la première étape, on représente l’état quantique en assignant un nombre à chaque configuration possible, appelée l’amplitude quantique pour cette configuration. Dans la seconde étape, vous élevez au carré cette amplitude pour chaque configuration, ce qui vous donne la probabilité que le système soit dans cette configuration. Pourquoi ces deux étapes ? L’amplitude est un nombre complexe – une combinaison de deux nombres réels ordinaires. Grâce à ce codage, il est possible de coder dans le même état quantique les distributions de probabilités d’autres grandeurs, telles que le moment.
• [4]
  Ainsi, si vous voulez vérifier la prédiction issue d’un état quantique quant aux probabilités de trouver les électrons d’un atome en tel ou tel endroit, vous préparez de nombreux atomes dans cet état puis mesurez les positions des électrons dans chaque atome. Additionner celle-ci vous donne une distribution de probabilités expérimentale. Vous pouvez comparer cette probabilité expérimentale avec la probabilité théorique que vous aurez calculée à partir de l’état quantique. Si elles coïncident avec une marge d’erreur acceptable, alors vous avez la preuve que votre hypothèse que le système était dans un état quantique spécifique était exacte.
• [5]
  La constante de proportionnalité est h, la célèbre constante de Planck, indiquant la valeur d’un quantum d’énergie et nommée en hommage à Max Planck, son découvreur.
• [6]
  Il y a des descriptions approximatives d’états quantiques cosmologiques correspondant à des univers en expansion mais ils reposent sur des choix extrêmement subtils pour les conditions initiales. L’état générique est une superposition d’univers en expansion et en contraction. Je devrais aussi mentionner que ceci n’est pas le seul argument en faveur de l’élimination du temps en cosmologie quantique, mais cela suffit pour notre propos. D’autres arguments sont donnés dans le contexte des approches de la gravitation quantique par les intégrales de chemin ; aussi, Connes et Rovelli proposent que le temps émerge comme conséquence du fait que l’univers possède une température finie.
• [7]
  Un problème supplémentaire provient de ce qu’en mécanique quantique, les propriétés pouvant être observées n’ont pas toutes de valeurs définies à tout instant. Ainsi certains états quantiques d’un système n’ont pas de valeurs définies pour l’énergie du système, et d’autres si. Il se trouve que ces états pour lesquels l’énergie est définie, vibrent également à une fréquence définie. En effet, c’est tout ce qu’ils font – vibrer sur place à une fréquence proportionnelle à l’énergie du système. Pour de nombreux systèmes, il existe un ensemble discret d’états possédant des énergies bien définies. Nous disons que l’énergie de ces systèmes est quantifiée. Mais la plupart des états quantiques n’ont pas de valeurs d’énergie définies ; dans ces états, il y a des probabilités pour que le système possède différentes énergies. Les systèmes dans ces états n’ont donc pas non plus de valeurs définies pour la fréquence.
  Pour qu’un système quantique fasse plus que seulement osciller sur place, vous devez le placer dans un état n’ayant pas de valeur d’énergie définie. C’est facile à faire, en vertu d’un principe appelé principe de superposition, qui dit que les états quantiques peuvent être additionnés. Ceci est un aspect des propriétés ondulatoires d’un système quantique : une corde de guitare ou de piano vibre à plusieurs fréquences simultanément, et le mouvement de la corde est la somme des oscillations à chaque fréquence individuelle. Jetez deux pierres dans un seau d’eau : chacune génère une onde, et le motif à la surface de l’eau quand elles se rencontrent est l’addition des deux motifs produits par chaque « plouf ». Le principe de superposition marche comme ceci : si vous disposez de deux états quantiques, vous pouvez en fabriquer un troisième en les additionnant.
  Cette capacité à additionner les états quantiques est essentielle à notre argument disant que la physique newtonienne est une approximation de la mécanique quantique. Nous en avons besoin pour reproduire le simple fait qu’en physique newtonienne, les configurations changent lorsque les particules se déplacent dans l’espace. Ceci ne peut pas se déduire des états qui oscillent seulement dans le temps, comme font les états d’énergie définie. Pour reproduire le mouvement, il nous faut des états dont le comportement soit plus complexe, et ceci requiert des états aux valeurs d’énergie indéfinies. Ils se construisent en additionnant, ou en superposant, des états d’énergies différentes.
  Mais en cosmologie quantique, tous les états ont la même énergie, de sorte que la manière habituelle d’extraire le mouvement ordinaire à partir de la physique quantique ne fonctionne plus. Nous ne pouvons pas déduire les prédictions de la relativité générale à partir de l’état quantique de l’univers.
• [8]
  Abhay Ashtekar, « New Variables for Classical and Quantum Gravity », Phys. Rev. Lett. 57:18, 2244-47, 1986.
• [9]
  Ted Jacobson & Lee Smolin, « Nonperturbative Quantum Geometries », Nucl. Phys. B., 299:2, 295-345, 1988.
• [10]
  Carlo Rovelli & Lee Smolin, « Knot Theory and Quantum Gravity », Phys. Rev. Lett. 61:10, 1155-58, 1988.
• [11]
  Thomas Thiemann, « Quantum Spin Dynamics (QSD): II. The Kernel of the Wheeler – DeWitt Constraint Operator », Class. Quantum Grav. 15, 875-905, 1998.
• [12]
  Des modèles récemment développés en cosmologie quantique étudient les versions quantiques de modèles cosmologiques simplifiés tels que ceux discutés au chapitre 6. On les appelle des modèles de cosmologie quantique à boucles. Les modèles de cosmologie quantique antérieurs avaient été étudiés avec des approximations grossières qui brouillaient les questions fondamentales ; les modèles récents sont simples et définis avec suffisamment de précision pour pouvoir fournir des solutions exactes aux équations. Tout impressionnant que ce soit, nous devons souligner que ce sont là des modèles énormément simplifiés. En particulier, le problème du temps y est mis de côté, car on n’y parle pas du temps, mais de corrélations entre les valeurs de différents observables. Un champ est traité comme une horloge, par rapport à laquelle les changements dans les autres champs sont mesurés. Ceci offre une voie approximative, et relationnelle, pour extraire le temps d’une description du monde intemporelle. Par ailleurs, ces questions ne sont pas limitées à la gravitation quantique à boucles ou à la cosmologie quantique à boucles, même si elles sont les plus criantes dans ces contextes. La théorie des cordes, dans la mesure où elle peut être appliquée à un contexte cosmologique fermé, possède un analogue de l’équation de Wheeler-DeWitt. Et une partie de la spéculation sur les univers infinis, l’inflation éternelle, et ce genre d’idées, est posée dans le contexte des équations de Wheeler-DeWitt. Les difficultés pour interpréter l’univers intemporel qui en résulte, sont un défi pour tous les théoriciens qui pensent à l’unification ou à l’univers primordial.