Chapitre 3. Puissance entière et racine carrée d’un nombre réel

Il est important de savoir manipuler et simplifier des puissances. Cela vous sera très utile en ECG, notamment dans les chapitres portant sur la récurrence, l’étude de suites, le calcul de sommes finies, l’étude de séries, ainsi que lorsque vous aurez à calculer les puissances de certaines matrices. De même, vous pourrez être amenés à manipuler des racines carrées de nombres réels dans ces chapitres.Exemple 3.1Exemple 3.22^{3} \times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}, \quad\left(3^{2}\right)^{5}=3^{2 \times 5}=3^{10}, \quad 2^{3} \times 7^{3}=(2 \times 7)^{3}=14^{3},Exemple 3.3Exemple 3.4Exemple 3.5Exemple 3.6\frac{3^{2} \times 12}{2^{3} \times 3^{4}}=\frac{3^{2} \times 3 \times 4}{2^{3} \times 3^{4}}=\frac{3^{2+1} \times 2^{2}}{2^{3} \times 3^{4}}=\frac{3^{3}}{3^{4}} \times \frac{2^{2}}{2^{3}}=3^{3-4} \times 2^{2-3}=3^{-1} \times 2^{-1}.\frac{10^{3}}{5^{5}}=\frac{(2 \times 5)^{3}}{5^{5}}=\frac{2^{3} \times 5^{3}}{5^{5}}=2^{3} \times \frac{5^{3}}{5^{5}}=2^{3} \times 5^{3-5}=2^{3} \times 5^{-2}=8 \times \frac{1}{5^{2}}=\frac{8}{25}.Exemple 3.7
Soit x \geq 0 \quad \sqrt{x}^{6}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{6}=x^{\frac{1}{2} \times 6}=x^{3}.Exemple 3.8Exercice 3.1
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1) A=\frac{12^{5}}{3^{4} 2^{11}}.
2) B=\frac{18 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}}.
3) C=\frac{15^{2} \times 5^{-2} \times 7^{3} \times 6 \times 2^{-5}}{10^{2} \times 21 \times 5^{-3} \times\left(2^{-2}\right)^{3}}.Exercice 3.2
Simplifier au maximum les expressions suivantes …