Les coefficients de Clebsch-Gordan ont été introduits au Chapitre X [cf. relation (C-66)] : ce sont les coefficients ⟨j1, j2 ; m1, m2⟩ qui interviennent dans le développement du ket |J, M⟩ sur la base {|j1, j2 ; m1, m2⟩}:
Nous allons, dans ce complément, établir quelques propriétés intéressantes des coefficients de Clebsch-Gordan, dont certaines ont été simplement énoncées au Chapitre X.
On peut remarquer que, pour définir complètement les ⟨j1, j2 ; m1, m2|J, M⟩, la relation (1) n’est pas suffisante : le vecteur normé |J, M⟩ n’est en effet fixé a priori qu’à un facteur de phase près par la donnée des valeurs propres J(J +1)ћ et M ћ correspondantes, et il faut choisir une convention de phase pour achever de le définir. Dans le Chapitre X, nous avons utilisé l’action des opérateurs J+ et J– pour fixer la phase relative des (2J + 1) kets |J, M ⟩ associés à une même valeur de J. Dans ce complément, nous compléterons ce choix de phase en adoptant une convention pour celle des kets |J, M ⟩ ; ceci nous permettra en particulier de montrer que tous les coefficients de Clebsch-Gordan sont alors réels.
Avant toutefois d’aborder, au § 2, le problème du choix de la phase des ⟨j1, j2 ; m1, m2|J, M⟩, nous allons étudier au § 1 certaines de leurs propriétés, qui sont parmi les plus utiles en mécanique quantique, et ne dépendent pas de cette convention de phase ; enfin, le § 3 regroupe des relations diverses qui nous serviront dans d’autres compléments.Deux importantes règles de sélection, qui découlent immédiatement des résultats du Chapitre X sur la composition des moments cinétiques, ont déjà été données dans ce chapitre …