Dans ce complément, nous utilisons les propriétés des coefficients de Clebsch-Gordan pour établir des égalités qui nous seront utiles par la suite, notamment dans les Compléments Ex et Axiii : les relations de composition des harmoniques sphériques. Dans ce but, nous commençons par introduire et étudier des fonctions de deux ensembles d’angles polaires Ω1 et Ω2, les .
Considérons deux particules (1) et (2), d’espaces des états et , de moments cinétiques orbitaux L1 et L2. On rapporte l’espace à une base standard , dont les kets ont pour fonctions d’onde :
(Ω1 désigne l’ensemble des angles polaires {θ1,φ1} de la première particule). De même, on rapporte à une base standard . Dans toute la suite, nous restreindrons les états des deux particules à des sous-espaces Ɛ(k1, l1) et Ɛ(k2, l2), où k1, l1, k2 et l2 sont fixés, et les fonctions radiales et ne joueront aucun rôle.
Le moment cinétique du système global (1) + (2) est :
D’après les résultats du Chapitre X, on peut construire une base de Ɛ (k2, l2) ⊗ Ɛ (k2, l2) formée de vecteurs propres communs à J2 [valeur propre ] et Jz (valeur propre et Jz (valeur propre M ћ) ; ces vecteurs sont de la forme :
le changement de base inverse étant donné par :
L’égalité (3a) montre que la dépendance angulaire des états est décrite par les fonctions :De même, l’égalité (3b) entraîne que :
Aux observables L1 et L2 correspondent, pour les fonctions d’onde, des opérateurs différentiels portant sur les variables Ω…