La méthode d’approximation utilisée dans le Chapitre XIII pour calculer l’effet d’une perturbation résonnante n’est pas valable pour des temps longs ; en effet, nous avons vu [cf. condition (C-18) de ce chapitre] que t devait satisfaire à :
Supposons que l’on veuille étudier le comportement d’un système, soumis à une perturbation résonnante, sur un grand intervalle de temps [où la condition (1) n’est pas réalisée]. La solution à l’ordre 1 étant alors insuffisante, on pourrait essayer de calculer un certain nombre de termes d’ordres supérieurs pour obtenir une meilleure expression de :
Une telle méthode conduirait à des calculs inutilement longs.
Nous allons voir dans ce complément qu’il est possible de résoudre le problème de façon plus élégante et rapide, en améliorant la méthode d’approximation pour mieux l’adapter au caractère résonnant de la perturbation. La condition de résonance ω ≃ ωfi entraîne que, seuls, les deux états discrets |φi⟩ et |φf ⟩ sont couplés de manière efficace par W(t) : comme le système est, à l’instant initial, dans l’état |φi⟩ [bi(0) = 1], l’amplitude de probabilité bf (t) de le trouver à l’instant t dans l’état |φf≃ peut être appréciable; par contre, tous les coefficients bn(t) (avec n ≠ i, f ) restent très petits devant 1 car, pour eux, la condition de résonance n’est pas satisfaite. Cette remarque est à la base de la méthode que nous allons utiliser.
Dans le Chapitre XIII, nous avons remplacé au second membre de (B-11) toutes les composante…