Notes

• [1]
  Ce théorème a été initialement prouvé par Floquet dans le cas à une dimension, où il est fréquemment appelé théorème de Floquet.
• [2]
  . L’indice n est appelé indice de bande. En effet, pour un k donné, il existe plusieurs états propres indépendants.
• [3]
  L’équation (8.6) implique (8.3) et (8.4), puisqu’elle requiert de la fonction u(r) = exp(–ik · r) ψ(r) d’avoir la périodicité du réseau de Bravais.
• [4]
  La première démonstration est fondée sur des résultats formels de la mécanique quantique. La seconde est plus élementaire, mais fait intervenir une notation plus encombrante.
• [5]
  Voir, par exemple, D. Parks, Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill, New York, 1964, p. 123.
• [6]
  Nous allons voir que, pour des conditions aux limites adéquates, les x_i doivent être réels, mais, pour l’instant, ils peuvent être considérés comme des nombres complexes quelconques.
• [7]
  Noter que (8.27) se réduit à la forme (2.16) utilisée dans la théorie des électrons libres, quand le réseau de Bravais est cubique simple, les a_i étant les vecteurs primitifs cubiques, et N₁ = N₂ = N₃ = L/a.
• [8]
  Bien que cette démonstration soit plus élémentaire que la première, elle est plus compliquée du point de vue de la notation, et d’une importance essentielle en ce qu’elle constitue le point de départ des calculs approximatifs du chapitre 9. Le lecteur peut donc éventuellement la passer.
• [9]
  Dans la suite, nous interpréterons les sommations indéfinies sur k comme des sommations sur tous les vecteurs d’onde de la forme (8.27) permis par les conditions aux limites de Born-Von Karman.
• [10]
  Une somme sur l’indice K signifiera toujours une somme sur tous les vecteurs du réseau réciproque.
• [11]
  . Voir l’appendice D, où le rôle du réseau réciproque dans le développement de Fourier des fonctions périodiques est étudié.
• [12]
  Le lecteur est invité à poursuivre l’argument de cette section (et le chapitre 9) sans supposer la symétrie d’inversion qui est utilisée uniquement pour éviter des complications inutiles de notation.
• [13]
  La dernière étape découle de la substitution K + q = q’, et du fait que, puisque K est un vecteur du réseau réciproque, sommer sur tous les q comme dans (8.27), revient à sommer sur tous les q’.
• [14]
  Ceci peut aussi se déduire de l’équation (D.12), appendice D, en multipliant l’équation (8.38) par l’onde plane appropriée et en intégrant sur le volume du cristal.
• [15]
  Noter qu’il y aura une infinité de solutions à l’ensemble (infini) d’équations (8.41) pour un k donné. Elles seront classées en fonction de l’indice de bande n (voir note 2).
• [16]
  De même que le problème d’un électron libre dans une boîte de dimensions finies fixées possède un ensemble discret de niveaux d’énergie, et que les modes normaux de vibration d’un tambour fini possèdent un ensemble discret de fréquences, etc.
• [17]
  Cette attente est implicite, par exemple, dans la théorie des perturbations ordinaire, qui n’est possible que parce que les petites variations des paramètres de l’hamiltonien conduisent à de petites variations des niveaux d’énergie. Dans l’appendice E, les variations des niveaux d’énergie induites par de petites variations de k sont calculées explicitement.
• [18]
  Le fait que les conditions aux limites de Born-von Karman limitent k à des valeurs discrètes de la forme (8.27) n’a aucune influence sur la continuité de \({\mathcal E}_{n} \mathrm(k)\) en tant que fonction de la variable continue k, puisque le problème aux valeurs propres donné par (8.48) et (8.49) ne fait aucune référence à la taille du cristal dans son entier et est bien défini pour tout k. On doit aussi noter que l’ensemble des k de la forme (8.27) devient dense dans l’espace des k à la limite du cristal infini.
• [19]
  Nous ne ferons aucune distinction de notation entre le nombre d’électrons de conduction et le nombre de mailles primitives quand le contexte indiquera clairement celui auquel on fait référence ; ils ne sont cependant égaux que dans un réseau de Bravais monovalent monoatomique (par exemple, dans les métaux alcalins).
• [20]
  Dans la plupart des cas importants, la surface de Fermi tout entière est située dans une seule bande, et, dans le cas général, elle se trouve à l’intérieur d’un nombre assez faible de bandes (chapitre 15).
• [21]
  Si \(\mathcal{E}_{F}\) est en général définie comme étant l’énergie séparant le niveau occupé le plus haut du niveau non occupé le plus bas, alors elle n’est pas spécifiée de manière unique dans un solide ayant une bande interdite, puisque toute énergie dans cette bande vérifie ce critère. Néanmoins, on parle de l’énergie de Fermi d’un semi-conducteur intrinsèque. On désigne par là le potentiel chimique qui est bien défini à toute température non nulle (appendice B). Quand T → 0, le potentiel chimique d’un solide ayant une bande interdite approche l’énergie du milieu de la bande (page 686), et l’on trouve parfois écrit que c’est là « l’énergie de Fermi » d’un solide ayant bande interdite. Avec la définition correcte (indéterminée) ou la définition familière de \(\mathcal{E}_{F}\), l’équation (8.52) affirme que les solides ayant une bande interdite n’ont pas de surface de Fermi.
• [22]
  Le lecteur peut, sans perte de continuité, omettre cette section dans une première lecture, et s’y référer dans les chapitres suivants quand cela s’avèrera nécessaire.
• [23]
  Le facteur 2 est dû au fait que chaque niveau spécifié par n et k peut contenir deux électrons de spins opposés. Nous supposons que Q_n(k) ne dépend pas du spin s. Si c’est le cas, le facteur 2 doit être remplacé par une somme sur s.
• [24]
  Les fonctions Q_n(k) ont habituellement la périodicité du réseau réciproque, et ainsi le choix de la maille primitive est sans importance.
• [25]
  Voir les remarques de précaution appropriées à la page 42.
• [26]
  Par exemple, si q est la densité d’électrons n, alors \(Q(\mathcal{E})=f(\mathcal{E})\), où f est la fonction de Fermi ; si q est la densité d’énergie électronique u, alors \(Q(\mathcal{E})=\mathcal{E}f(\mathcal{E})\).
• [27]
  Voir aussi le problème 2.
• [28]
  Une analyse assez générale pour savoir en combien de points le gradient s’annule est assez complexe. Voir, par exemple, G. Weinreich, Solids, Wiley, New York, 1965, pp. 73-79.
• [29]
  À une dimension, \(g_{n}(\mathcal{E})\) sera elle-même infinie en une singularité de van Hove.
• [30]
  Ce sont essentiellement les mêmes singularités qui apparaissent dans la théorie des vibrations du réseau. Voir le chapitre 23.
• [31]
  Voir, par exemple, le problème 2f, chapitre 2.
• [32]
  Le problème 1 poursuit l’analyse générale un peu plus loin dans le cas, facilement contrôlable, mais en quelque sorte trompeur, d’un potentiel périodique à une dimension.
• [33]
  Dans ce problème, K est une variable continue et n’a rien à voir avec le réseau réciproque.
• [34]
  Un cas particulier du théorème général selon lequel il existe n solutions indépendantes d’une équation différentielle linéaire d’ordre n.