Chapitre 11. Principe de moindre action
- Par Eric Gourgoulhon
Pages 349 à 377
Citer ce chapitre
- GOURGOULHON, Eric,
- Gourgoulhon, Eric.
- Gourgoulhon, E.
Citer ce chapitre
- Gourgoulhon, E.
- Gourgoulhon, Eric.
- GOURGOULHON, Eric,
Notes
-
[1]
Cf. le livre de Barut [37], p. 65, pour un exemple.
-
[2]
On emploie le même symbole xα pour désigner les coordonnées affines sur ℰ et les fonctions de λ qui définissent la ligne d’univers de
. Cela constitue un léger abus de notation, assez répandu en physique. En toute rigueur, on devrait écrire quelque chose comme xα = Xα(λ), plutot que (11.4).
-
[3]
Le gradient sera traité en détail au Chap. 15.
-
[4]
Emmy Noether (1882–1935) : Mathématicienne allemande, connue pour ses travaux en algèbre et en topologie, et son fameux théorème en physique mathématique. Révoquée de l’université de Göttingen par les nazis, elle émigra aux États-Unis en 1934, où elle mourut l’année suivante.
-
[5]
David Hilbert (1862–1943) : Un des plus grands mathématiciens de tous les temps ; fondateur de l’école de Göttingen, qui fut au début du xxe siècle le centre mondial des mathématiques. Il y recruta notamment Hermann Minkowski et Emmy Noether.
-
[6]
Gustav Herglotz (1881–1953) : Mathématicien et astronome allemand ; étudiant de Ludwig Boltzmann, il appliqua des mathématiques élaborées pour résoudre des problèmes d’astronomie et de géophysique.
-
[7]
C’est-à-dire non quantique.
-
[8]
Une partie de ℝ2N ou plus généralement une variété (cf. § 7.1.1) de dimension 2N.
-
[9]
Cf. § 1.5.1.
-
[10]
Paul A.M. Dirac (1902–1984) : Physicien théoricien britannique, célèbre pour ses contributions à la mécanique quantique et à l’électrodynamique quantique ; il a notamment écrit l’équation qui régit la dynamique des électrons relativistes en mécanique quantique et a prédit l’existence de l’antimatière ; prix Nobel de physique en 1933.
-
[11]
Cf. par exemple le Chap. 8 du traité de Sudarshan et Mukunda [396].
-
[12]
Contrairement au § 11.1.3, nous devons à présent utiliser une notation distincte pour les coordonnées affines de ℰ, (xα), et les fonctions qui définissent la ligne d’univers,
.
-
[13]
Karl Schwarzschild (1873–1916) : Astrophysicien allemand, célébre pour avoir trouvé en 1915 la première solution exacte des équations de la relativité générale, solution qui sera reconnue plus tard comme celle d’un trou noir statique. Il mourra l’année suivante sur le front russe, des suites d’une maladie.
-
[14]
Hugo Tetrode (1895–1931) : Physicien hollandais, auteur de travaux en mécanique quantique ; mort de la tuberculose à 35 ans.
-
[15]
Richard Feynman (1918–1988) : Physicien théoricien américain, étudiant de John Wheeler ; il a inventé l’intégrale de chemin en mécanique quantique, ainsi que les diagrammes qui portent son nom, et a reçu le Prix Nobel de physique 1965 pour sa contribution fondamentale à l’électrodynamique quantique. Il est également célèbre pour son cours de physique [155].
-
[16]
Alfred Schild (1921–1977) : Physicien américain d’origine allemande, surtout connu pour ses travaux en relativité générale ; il a également contribué au développement des premières horloges atomiques.
-
[17]
Pierre Ramond : Physicien américain d’origine française, né en 1943 ; un des fondateurs de la théorie des cordes.
La plupart des théories physiques modernes sont basées sur un principe de moindre action, encore appelé principe variationnel. Cette approche conduit naturellement à la détermination des quantités conservées à partir des symétries du système décrit. De plus, elle facilite le passage vers la version quantique d’une théorie classique. Nous nous proposons donc de reformuler dans ce cadre la dynamique des particules relativistes développée dans les deux chapitres précédents.
Dans la mécanique lagrangienne prérelativiste, appelée aussi mécanique analytique, un système à N degrés de liberté est entièrement décrit par la donnée d’une fonction à valeurs réelles de la dimension d’une énergie :où t désigne le temps absolu newtonien, (qa)1≤a≤N les N coordonnées généralisées du système et les N vitesses généralisées, c’est-à-dire les dérivées des coordonnées généralisées par rapport au temps : . qa = dqa/dt. La configuration du système à un instant t est définie par les N fonctions qa(t), qui décrivent une partie de ℝN appelée espace des configurations. La fonction L, dont la forme précise définit les processus physiques à l’œuvre, est appelée lagrangien du système. Pour un système constitué de M particules et pour lequel la force sur chaque particule dérive d’un potentiel V, on a N = 3M et un choix standard de lagrangien est L = T – V, T étant l’énergie cinétique totale du système.
Le principe de moindre action, encore appelé principe de Hamilton (cf. p. 249), stipule que l’évolution du système entre deux configurations fixées …
Date de mise en ligne : 13/10/2022