Chapitre 18. Équations de Maxwell
- Par Eric Gourgoulhon
Pages 577 à 618
Citer ce chapitre
- GOURGOULHON, Eric,
- Gourgoulhon, Eric.
- Gourgoulhon, E.
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Notes
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[1]
De ce point de vue, désigner l’action de δA sur f par une intégrale comme dans (18.3) est un abus de notation couramment utilisé en physique.
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[2]
Noté t′ pour réserver t à la coordonnée orthogonale à S dans
.
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[3]
Rappelons que la dérivée extérieure a été introduite au § 15.4, le dual de Hodge au § 14.4, et plus spécifiquement au § 17.1.5 pour F.
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[4]
Rappelons que l’espace des 3-formes linéaires est de dimension 4, cf. (14.40).
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[5]
James Clerk Maxwell (1831–1879) : Physicien écossais, célèbre pour avoir unifié l’électricité, le magnétisme et l’optique, dans les fameuses équations qui portent son nom.
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[6]
Ce dernier sera introduit plus bas, au § 18.4.2.
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[7]
Oliver Heaviside (1850–1925) : Physicien et mathématicien anglais ; autodidacte, il contribua à de nombreux domaines de l’électromagnétisme et des mathématiques (analyse vectorielle, équations différentielles).
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[8]
Heinrich Hertz (1857–1894) : Physicien allemand, auteur de nombreux travaux en électromagnétisme et célèbre pour avoir démontré expérimentalement l’existence des ondes électromagnétiques.
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[9]
Rappelons que fermée veut dire compacte et sans bord.
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[10]
Compacte et sans bord, comme par exemple une sphère.
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[11]
Sur tout domaine étoilé.
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[12]
Du moins en électrodynamique classique ; il n’en est pas de même en mécanique quantique, où A intervient directement dans la description locale d’un phénomène appelé effet Aharonov–Bohm (cf. par exemple § 12.3.3 de [246]).
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[13]
cf. (18.53) et la remarque effectuée au § 15.2.2.
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[14]
Alfred–Marie Liénard (1869–1958) : Physicien et ingénieur français ; directeur de l’École des Mines de Paris de 1929 à 1936.
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[15]
Emil Wiechert (1861–1928) : Géophysicien allemand ; il connaissait bien Hilbert (p. 361), Minkowski (p. 25) et Sommerfeld (p. 26), car tous les quatre avaient fait leurs études à l’université de Koenigsberg et se sont retrouvés professeurs à Göttingen.
-
[16]
Notamment via l’identité
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[17]
Par abus de langage, on dit souvent lagrangien tout court, à la place de densité de lagrangien.
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[18]
Klein fait référence au physicien suédois Oskar Klein (1894–1977) et non au mathématicien allemand Felix Klein, dont nous avons parlé au Chap. 7 (cf. p. 258).
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[19]
Rappelons que dans le cas présent, det g = –1 puis que l’on utilise des coordonnées inertielles.
Après avoir introduit le champ électromagnétique F au chapitre précédent, nous passons à présent aux équations qui le régissent, à savoir les fameuses équations de Maxwell. Elles indiquent comment F est généré par l’ensemble des charges électriques en mouvement. Nous ne traiterons que des équations de Maxwell fondamentales et pas des équations de Maxwell dites dans les milieux. Ces dernières se déduisent des premières via des modèles microscopiques et des processus de moyenne. La discussion de ces modèles sort du cadre de cet ouvrage et relève d’un cours d’électromagnétisme proprement dit.
Ce chapitre commence par l’introduction du vecteur quadricourant électrique, qui décrit de manière globale les charges électriques « en mouvement » (§ 18.1). On est alors en mesure d’énoncer les équations de Maxwell (§ 18.2), le quadricourant servant de source. Fidèles à notre point de vue quadridimensionnel, nous énonçons tout d’abord les équations de Maxwell en terme du tenseur F. Les équations pour les champs et , avec lesquelles le lecteur est certainement plus familier, s’en déduisent dans un deuxième temps, une fois introduit un observateur inertiel. Au § 18.3, nous montrons que les équations de Maxwell impliquent la conservation de la charge électrique. Nous abordons ensuite la résolution des équations de Maxwell au § 18.4, via l’introduction de la 1-forme quadripotentiel et du concept de choix de jauge qui lui est associé. Le § 18.5 est consacré au cas spécifique où la source est une particule chargée en mouvement (solution de Liénard-Wiechert)…
Date de mise en ligne : 13/10/2022