Annexe A. Rappels d’algèbre

Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne *, c’est-à-dire d’une application , telle que
* est associative : ;
* admet un élément neutre e : ;
tout g ∈ G admet un inverse g-1 ∈ G pour * : .
Si la loi * est commutative, c’est-à-dire si , le groupe (G, *) est qualifié d’abélien.
Exemples : Dans ce livre, nous avons rencontré le groupe de Lorentz O(3,1) (§ 6.1.2), le groupe de Lorentz restreint SOo(3,1) (§ 6.2.3), le groupe de Poincaré IO(3,1) (§ 8.2.3), le groupe linéaire de E, GL(E) (§ 6.1.2), le groupe des rotations de l’espace euclidien tridimensionnel SO(3) (§ 7.4.2), le groupe spécial linéaire complexe SL(2, ℂ) (§ 7.4), le groupe spécial unitaire SU(2) (§ 7.4.2), le groupe de Klein ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ (§ 6.2.4) et le groupe symétrique (§ 1.4.2 et 14.3.2). Seuls le groupe de Klein et pour n ≤ 2 sont abéliens.
Étant donnés deux groupes (G, ∗) et (F, ⋆), une application f : G → F est un morphisme de groupe (on dit également homomorphisme) ssi
Si de plus f est bijective, on dit que f est isomorphisme et que les groupes G et F sont isomorphes, ce que l’on note par le symbole ≃ :
Un isomorphisme G → G est appelé automorphisme.Si (G, *) est un groupe, on appelle sous-groupe de G toute partie H ⊂ G telle que (H, *) soit un groupe. On dit qu’un sous-groupe H est distingué ssi
Si G est abélien, tous les sous-groupes sont évidemment distingués. L’intérêt des sous-groupes distingués est de pouvoir « diviser » le groupe de départ pour obtenir un groupe plus simple…