Même si elle nous paraît aujourd’hui naturelle, la notion de fonction que nous utilisons a mis du temps à se dégager et son histoire est longue et impossible à résumer en quelques lignes.
On peut penser que les Babyloniens (vers –1900 à –1600) ont déjà une idée de fonction quand ils dressent des tables de carrés, de cubes, etc. sur leurs tablettes d’argile. Les tables de lignes trigonométriques calculées depuis plus de 2 000 ans sont aussi des tableaux de valeurs de fonctions.
D’autre part, tous ceux qui étudient des problèmes de mouvement étudient en fin de compte des fonctions du temps ; c’est en décrivant des mouvements (définissant pour nous une équation différentielle, voir chapitre 9) que John Neper construit ses logarithmes.
Les lettres introduites en algèbre par François Viète en 1591 permettent, en écrivant des équations, de bien faire apparaître la dépendance des valeurs d’une quantité des valeurs d’une autre. Pierre de Fermat et René Descartes exploitent l’un et l’autre, dans les années 1630, cette nouvelle possibilité dans des problèmes de géométrie, repérant les points de leurs figures par des coordonnées, l’ordonnée (un mot de Pascal, 1658) dépendant de l’abscisse (ligne coupée, 1693). Descartes peut ainsi classifier les courbes en géométriques (définies par une équation P(x, y) = 0, avec P polynôme, alors que les Grecs ne considéraient quasiment que les coniques), et mécaniques (par exemple, y = ex). L’étude d’une courbe particulière comme la cycloïde et la détermination de ses tangentes est une question centrale pendant quelques années…