Dans ce chapitre, je vais d’abord présenter les nombres réels tels qu’ils vont nous servir en analyse. Vous les connaissez tous déjà, vous les avez utilisés dans le secondaire, mais il faut les construire sur des bases solides.
La construction logique des mathématiques suppose que tout est construit à partir d’axiomes de bases. Ce sont pour nous les axiomes de la théorie des ensembles telle qu’elle a été mise au point par Georg Cantor et ses successeurs. Dans ce système d’axiomes, les nombres réels peuvent être construits à partir des nombres entiers et ce sont ces derniers qui sont donnés par des axiomes. Mais plutôt que de refaire tout ce chemin, on peut donner un certain nombre d’axiomes et développer, à partir de ces derniers, la théorie des nombres réels et toute une partie des mathématiques.
Une remarque : les nombres réels n’ont rien de réel et sont une pure invention des mathématiciens ; il n’y a pas de nombres réels dans la nature ; dans la pratique, on ne connaît et on n’utilise que quelques décimales des nombres non rationnels qu’on rencontre comme \pi, \sqrt{2}, etc. Mais les nombres réels sont très commodes pour faire des modèles de la réalité, définir des fonctions ayant de belles propriétés (continuité, dérivabilité) et permettre des calculs, même si les quantités de la nature qu’on étudie procèdent par sauts, comme, par exemple, toute la physique décrivant les particules élémentaires ou les statitisques étudiant les effectifs de lynx et de lapins autour de la baie d’Hudson au Canada dont les oscillations sont modélisées par des fonctions continues et dérivables solutions de…