Chapitre 27. Le principe de moindre action

La mécanique à son tour – qui l’eût dit ? –, la bonne vieille mécanique en passe déjà d’être sacrée « classique », dut un jour courber son front altier – qui l’eût cru ? – sous le joug exigeant des fourches Caudines variationnelles, dont semblaient pourtant la préserver à jamais la rectitude inébranlable de la théorie newtonienne et ses impressionnants succès observationnels et expérimentaux. Toujours est-il que cette humiliation brutale et symbolique – « Courbe la tête, fier Sicambre,… » –, loin de provoquer la déchéance et la descente aux enfers, suscita bien plutôt un approfondissement et un renouveau théoriques, porteurs de développements jusqu’alors inouïs : « E quindi uscimmo à riveder le stelle » (« Et par là nous sortîmes, à revoir les étoiles », Dante).
Mais ce retournement radical de situation, cette manière de miracle, ne saurait s’accomplir sans que soit marquée une pause significative à une étape intermédiaire cruciale : la formalisation lagrangienne de la mécanique.
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) a marqué de son sceau la mathématique de son temps : équations, théorèmes, méthode d’interpolation, transformation, etc. C’est pour sa Mécanique analytique (1788) que nous l’invoquons ici ; le but y était d’affranchir la mécanique – alors newtonienne – de tout recours à la géométrie – et en particulier aux forces – en la fondant sur des méthodes purement analytiques.
Nous nous contenterons ici de baliser succinctement le chemin qui, dans les problèmes les plus simples, conduit de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne aux équations de Lagrange ayant vocation pour s’y substituer…