Notes

• [1]
  On peut montrer qu’elles sont alors nécessairement différentiables.
• [2]
  Bijection continue dont la réciproque est également continue.
• [3]
  Deux cartes dans la terminologie de la géométrie différentielle.
• [4]
  Rappelons que et sont tous deux dans l’hyperplan orthogonal à la 4-vitesse de .
• [5]
  Rappelons que GL(E) désigne le groupe linéaire de E, formé par l’ensemble des endomorphismes inversibles de E (cf. p. 176).
• [6]
  Ce résultat traduit en fait la surjectivité de l’exponentielle dans le cas du groupe de Lie SO(3), qui est connexe et compact, cf. la remarque faite au § 7.3.1.
• [7]
  Sophus Lie (1842–1899) : Mathématicien norvégien, essentiellement connu pour avoir fondé la théorie des groupes qui portent son nom. Adolescent, il se destinait à une carrière militaire, mais sa forte myopie l’en empêcha et il opta pour une carrière universitaire ! C’est lors d’un séjour à Paris en 1870, au contact de Camille Jordan, qu’il entreprit l’étude des groupes continus de transformations. Après la déclaration de guerre à la Prusse, il fut arrêté par la police française comme espion allemand, ses notes mathématiques ayant été prises pour des messages codés ! Il fut libéré grâce à l’intervention du mathématicien Gaston Darboux.
• [8]
  Mat(2,ℂ) désigne l’ensemble des matrices 2 × 2 à coefficients complexes.
• [9]
  Mais pas sur ℂ puisque multiplier H₁₁ par λ = i ne permettrait pas de vérifier la première condition dans (7.49).
• [10]
   := diag(1, 1) est la matrice identité de taille 2.
• [11]
  William R. Hamilton (1805–1865) : Mathématicien et physicien irlandais. Il a fondé en 1827 ce qu’on appelle aujourd’hui la mécanique hamiltonienne (cf. Chap. 11) et a introduit le corps des quaternions en 1843. Il imagina la relation (7.75) alors qu’il se promenait sur un pont de Dublin le 16 octobre 1843.
• [12]
  Tout comme celle du groupe de Lorentz, l’algèbre de Lie de SL(2,ℂ) est désignée par les mêmes lettres que le groupe, mais en minuscules.
• [13]
  En considérant SL(2,ℂ) et SO_ᴏ(3, 1) comme des variétés (de dimension 6) sur ℝ, il s’agit en fait de la différentielle de l’application S prise au point  ; de ce fait, elle va de l’espace vectoriel tangent à SL(2,ℂ) en , soit sl(2,ℂ), vers l’espace vectoriel tangent à SO_ᴏ(3, 1) en , soit so(3, 1) (cf. Remarque 2 du § 7.2.2).
• [14]
  Felix Klein (1849–1925) : Mathématicien allemand, auteur de nombreux travaux en théorie des groupes et en géométrie non-euclidienne ; en 1872, il proposa le fameux programme d’Erlangen, dont le but était de classifier les différentes géométries en terme des groupes de symétrie et de leurs invariants. Il fonda le centre de mathématiques de Göttingen.