Mécanique Quantique - Tome 2

Schéma d’une expérience de collision entre les particules (1) d’un faisceau incident et les particules (2) d’une cible. On a représenté sur la figure deux détecteurs mesurant le nombre de particules diffusées dans des directions faisant des angles θ1 et θ2 avec le faisceau incident.

Le faisceau incident, dont le flux de particules est Fi, est parallèle à l’axe Oz ; il est supposé beaucoup plus large que la zone d’action du potentiel V (r), centrée en O. Loin de cette zone d’action, on dispose un détecteur D mesurant le nombre dn de particules diffusées par unité de temps dans l’angle solide dΩ, centré autour de la direction d’angles polaires θ et φ. Le nombre dn est proportionnel à Fi et à dΩ ; le coefficient de proportionnalité σ(θ, φ) est par définition la “section efficace” de diffusion dans la direction (θ,φ).

Le paquet d’ondes incident, de longueur Δz, se dirige à la vitesse v0 vers le potentiel V (r) ; il interagit avec le potentiel pendant un temps de l’ordre de ΔΤ = Δz/vG (la dimension de la zone d’action du potentiel est supposée négligeable devant Δz).

Avant la collision (fig. a), le paquet d’ondes incident se dirige vers la zone d’action du potentiel. Après la collision (fig. b), on se trouve en présence d’un paquet d’ondes planes et d’un paquet d’ondes sphériques diffusées par le potentiel (traits tiretés sur la figure). Ces ondes interfèrent dans la direction avant de façon destructive (conservation de la probabilité totale) ; le détecteur D est placé dans une direction latérale, et n’est sensible qu’aux ondes diffusées.

Calcul approché de la distance |r – r′| entre un point M très éloigné de O et un point P situé dans la zone d’action du potentiel (les dimensions de cette zone d’action sont de l’ordre de L).

Vecteurs d’onde incident ki, diffusé kd et transféré K.

Schématisation de l’approximation de Born : on ne tient compte que de l’onde incidente et des ondes diffusées par une seule interaction avec le potentiel.

Schématisation du terme du second ordre en U dans le développement de Born : on tient compte ici des ondes deux fois diffusées par le potentiel.

Allure de la fonction donnant la dépendance radiale de la probabilité de présence dans l’état ; la figure est tracée pour l = 4. A l’origine, cette fonction se comporte comme p2l+2 ; elle reste pratiquement nulle tant que .

Définition du paramètre d’impact classique b d’une particule d’impulsion p et de moment cinétique par rapport à l’origine O.

Le potentiel effectif Veff(r) est la somme du potentiel V (r) et du terme centrifuge .

Les particules incidentes doivent aborder le potentiel avec le paramètre d’impact bl, à Δbl, près pour que leur moment cinétique classique soit, à ℏ près.

Potentiel de Yukawa et potentiel coulombien. La présence du terme e-αr fait que le potentiel de Yukawa s’annule beaucoup plus rapidement lorsque r ≫ r0 = 1/α (portée du potentiel).

Le vecteur v = ez est amené sur le vecteur unitaire v′, d’angles polaires θ et φ, par une rotation d’angle θ autour de u.

Couples de valeurs (m1, m2) possibles pour les kets |j1, j2; m1, m2) ; on a pris le cas où j1 = 2 et j2 = 1-Les points associés à une valeur donnée de M = m1 + m2 sont situés sur une droite parallèle à la deuxième bissectrice (droites en traits tiretés).

Valeur du degré de dégénérescence en fonction de M ; comme sur la Figure 1, on a représenté le cas où j1 = 2 et j2 = 1. Le degré de dégénérescence s’obtient simplement en comptant le nombre de points sur une des droites tiretées de la Figure 1.

Compléments du chapitre X

La règle de sélection du triangle indique que le coefficient ⟨j1, j2 ; m1, m2|J, M⟩ ne peut être différent de zéro que s’il est possible de former un triangle avec trois segments de longueurs j1, j2, J.

Interprétation classique du théorème de projection : le vecteur v tournant rapidement autour du moment cinétique total j, seule sa composante statique doit être prise en compte.

Diagramme énergétique montrant la levée de dégénérescence (2J + 1) d’un multiplet (ici J = 5/2) sous l’effet d’un champ magnétique statique B ; la distance entre deux niveaux consécutifs est proportionnelle à \B\ et au facteur de Landé gJ.

Le potentiel W (ρ) créé en un point éloigné par un système constitué de N particules chargées (de positions r1, r2, …) peut être exprimé en fonction des moments multipolaires de .

Deux moments cinétiques classiques et couplés par une interaction .

Sous l’effet du couplage , les moments cinétiques et précessent autour de leur résultante (leur somme) , qui est une constante du mouvement.

Niveaux d’énergie d’un système de deux spins 1/2. Sur la partie gauche de la figure, le couplage est supposé nul, et on obtient un seul niveau quatre fois dégénéré. L’effet du couplage W = aS1 · S2 est de faire apparaître deux niveaux distincts, séparés par l’énergie aħ2 : le niveau triplet (S = 1, trois fois dégénéré) et le niveau singulet (S = 0, non dégénéré).

Si l’état du système des deux spins est une superposition des seuls états stationnaires |0, 0⟩ et |1, 0⟩ ⟨S1⟩ et ⟨S2⟩ sont constamment opposés et vibrent le long de Oz à la fréquence Ω/2π.

Si l’état du système des deux spins est une superposition des seuls états stationnaires |0, 0⟩ et |1, 1⟩, ⟨ S1⟩ et ⟨S2⟩ précessent dans le sens direct autour de leur résultante ⟨S⟩, avec la vitesse angulaire Ω.

Si l’état du système des deux spins est une superposition des seuls états stationnaires |0, 0⟩ et |1, –1⟩, ⟨ S1⟩ et ⟨S2⟩ précessent encore dans le sens direct à la vitesse angulaire Ω autour de leur résultante ⟨ S⟩ ; cependant, celle-ci est maintenant de sens opposé à Oz.

Mouvement de ⟨ S1⟩(t) et ⟨S2⟩(t) dans le cas général où l’état du système des deux spins est une superposition des quatre états stationnaires |0, 0⟩, |1, 1⟩, |1, 0⟩ et |1, —1⟩ ; la résultante ⟨S⟩ est toujours constante, mais n’est plus forcément dirigée suivant Oz ; ⟨S1⟩ et ⟨S2⟩ n’ont plus une longueur constante et leur extrémité décrit une ellipse.

Collision entre deux particules (1) et (2) de spin 1/2 dont les variables orbitales peuvent être traitées classiquement ; l’état de spin de chaque particule est schématisé par une flèche double.

Allure des variations de la constante de couplage a(t) au cours de la collision.

Courbe simplifiée utilisée pour schématiser les variations de la constante de couplage a(t) durant la collision.

Variations avec λ des valeurs propres Ε(λ) de l’hamiltonien H(λ) = H0 + λŴ. Chaque trait correspond à un état propre de H(λ). Pour λ = 0, on obtient le spectre de H0. On a supposé ici que les valeurs propres et sont doublement dégénérées ; l’application de la perturbation λŴ lève la dégénérescence de , mais non celle de . Une dégénérescence supplémentaire, d’ordre deux, apparaît pour λ = λ1.

Variations avec x du potentiel associé à un oscillateur anharmonique. On traite comme une perturbation la différence entre le potentiel réel (traits pleins) et le potentiel harmonique (traits tiretés) de l’hamiltonien non perturbé (xA et xB sont les limites d’un mouvement classique d’énergie E).

Niveaux d’énergie de H0 (traits tiretés) et de H (traits pleins). Sous l’effet de la perturbation W, chaque niveau de H0 subit un déplacement vers le bas d’autant plus important que la valeur de n est plus élevée.

Allure du spectre de vibration d’une molécule diatomique hétéropolaire. Par suite de l’anharmonicité du potentiel et des termes d’ordre supérieur dans le développement en puissances de x (distance entre les deux atomes) du moment dipolaire D(x) de la molécule, il apparaît, en plus de la fréquence fondamentale v1, une série de fréquences “harmoniques” v2, v3 … vn … Les raies correspondantes ne sont d’ailleurs pas tout à fait équidistantes ; leur intensité décroît très vite lorsque n croît.

Disposition relative des moments magnétiques M1 et M2 des particules (1) et (2) (r est la distance entre les deux particules, n le vecteur unitaire de la droite qui les joint).

Niveaux d’énergie des deux particules de spin 1/2, plongées dans un champ statique B0 parallèle à Oz. Les deux pulsations de Larmor ω1= –γ1Β0 et ω2 = –γ2 B0 sont supposées différentes. Pour la figure a, les niveaux d’énergie sont calculés en ne tenant pas compte de l’interaction dipôle-dipôle W entre les deux spins. Pour la figure b, on tient compte de cette interaction; les niveaux subissent un déplacement dont la valeur approchée, au premier ordre en W, est indiquée sur la partie droite de la figure. Les flèches en traits pleins relient les niveaux entre lesquels S1x a un élément de matrice non nul, les flèches en traits tiretés ceux pour lesquels c’est S2x.

Les fréquences de Bohr apparaissant dans l’évolution de⟨S1x⟩ et ⟨S2x⟩ donnent les positions des raies de résonance magnétique observables sur le système des deux spins (transitions correspondant aux flèches de la Figure 2). En l’absence d’interaction dipôle-dipôle, on obtient deux résonances, correspondant à chacun des deux spins (fig. a). L’interaction dipôle-dipôle se traduit par un dédoublement de chacune des deux raies précédentes (fig. b).

Les deux particules de spin 1/2 sont supposées avoir même moment magnétique, et par suite même pulsation de Larmor ω = –γΒ0. En l’absence d’interaction dipôle-dipôle, on obtient trois niveaux, dont l’un est dégénéré deux fois (fig. a). Sous l’effet de l’interaction dipôle-dipôle (fig. b), les niveaux précédents subissent des déplacements dont les valeurs approchées (au premier ordre en W) sont indiquées sur la partie droite de la figure. A l’ordre zéro en W, les états stationnaires sont les états propres |S, M⟩ du spin total. Les flèches relient les niveaux entre lesquels S1x + S2x a un élément de matrice non nul.

Allure du spectre de résonance magnétique observable sur un système de deux spins 1/2, de même rapport gyromagnétique, plongés dans un champ statique B0. En l’absence d’interaction dipôle-dipôle, on observe une seule résonance (fig. a). En présence d’une interaction dipôle-dipôle (fig. b), la raie précédente se dédouble; l’écart 6Ω entre les deux composantes du doublet est proportionnel à 3 cos2 θ – 1, θ étant l’angle entre le champ statique B0 et la droite qui joint les deux particules.

Disposition relative des deux atomes d’hydrogène. R est la distance entre les deux protons situés en A et B, n le vecteur unitaire de la droite qui les joint ; rA et rB sont les vecteurs positions des deux électrons par rapport aux points A et B respectivement.

Pour calculer l’énergie d’interaction d’un atome d’hydrogène avec une paroi parfaitement conductrice, on peut considérer que le moment dipolaire électrique qrA de l’atome interagit avec son image électrique –qrA à travers la paroi (d est la distance entre le proton A et la paroi).

Variations avec r du potentiel électrostatique V (r)créé par la distribution de charge –Zq du noyau, que l’on suppose répartie uniformément dans une sphère de rayon ρ0. Pour r ≤ ρ0, le potentiel est parabolique ; pour r ≥ ρ0, il est coulombien [le prolongement de ce potentiel coulombien dans la zone r ≤ ρ0 est représenté en tiretés ; W(r) est la différence entre V(r) et ce potentiel coulombien].

Potentiel vu par l’électron, dans la molécule ionisée , lorsqu’il se déplace sur l’axe Ox défini par les deux protons. On obtient deux puits séparés par une barrière. Si, à un instant donné, l’électron est localisé dans l’un des deux puits, il peut passer dans l’autre puits par effet tunnel à travers la barrière.

Variation des énergies des états stationnaires de l’électron en fonction de la distance R entre les deux protons de l’ion . Lorsque R est grand, on obtient deux niveaux pratiquement dégénérés, d’énergie –EI ; lorsque R décroît, cette dégénérescence est levée, d’autant plus fortement que R est plus petit.

Niveaux d’énergie d’un électron soumis à l’action de ions identiques régulièrement espacés. Lorsque R est très grand, les fonctions d’onde sont localisées autour des divers ions et les niveaux d’énergie sont les niveaux atomiques, N fois dégénérés (l’électron peut former un atome avec l’un quelconque des ions) ; on a représenté sur la figure deux de ces niveaux, d’énergies –E et –E′. Lorsque R décroit, l’électron peut passer d’un ion à l’autre par effet tunnel, et la dégénérescence des niveaux est levée, d’autant plus fortement que R est plus petit. Pour la valeur R0 de R réalisée dans un cristal, chacun des deux niveaux atomiques de départ est donc décomposé en niveaux très rapprochés. Si est très grand, ces niveaux sont si proches qu’ils donnent des bandes d’énergie, de largeurs Δ et Δ′, séparées par une bande interdite.

Schéma des niveaux d’énergie pour un potentiel constitué de plusieurs puits régulièrement espacés. On a représenté sur cette figure deux bandes, l’une de largeur Δ, l’autre de largeur Δ′. La bande est d’autant plus étroite qu’elle est plus profonde, car le franchissement des barrières par effet tunnel est alors plus difficile.

Energies possibles de l’électron en fonction du paramètre k (k varie dans la première zone de Brillouin). Il apparaît une bande d’énergie, dont la largeur 4A est proportionnelle au couplage entre atomes voisins.

Bandes permises (accolades) et bandes interdites (parties épaisses) sur l’axe des énergies.

Vitesse de groupe de l’électron en fonction du paramètre k. Cette vitesse s’annule non seulement pour k = 0 (comme pour l’électron libre), mais aussi pour k = ±π/l (bords de bande).

On désigne par r1 la distance entre l’électron M et le proton P1, par r2 la distance entre l’électron et le proton P2, et par R la distance internucléaire P1P2.

Variations de l’énergie E de l’ion moléculaire en fonction de la distance R entre les deux protons.

Variations de S (intégrale de recouvrement), C(intégrale de Coulomb) et A (intégrale de résonance en fonction de ρ = R/a0. Lorsque R→ ∞, S et A tendent exponentiellement vers zéro, alors que C décroît seulement en e2/R(l’interaction “écrantée” (e2/R) – C du proton P1 avec l’atome centré en P2 décroît cependant, elle aussi, exponentiellement).

Représentations schématiques de l’orbitale moléculaire liante(fig. a) et antiliante (fig. b) pour l’ion . On a tracé la section par un plan contenant P1P2 d’un réseau de surfaces où le module |ψ| de la fonction d’onde a une valeur constante donnée; ces surfaces sont de révolution autour de P1P2 (on a représenté 4 surfaces correspondant à 4 valeurs de |ψ| différentes). Les signes + et – indiqués sur la figure sont ceux de la fonction d’onde (qui est réelle) dans les régions correspondantes. La droite en tiretés est la trace du plan médiateur de P1P2 qui est un plan nodal pour l’orbite antiliante.

Pour chaque valeur de la distance internucléaire, on calcule la valeur de Z qui minimise l’énergie. Pour R= 0, on a l’équivalent d’un ion He+, et on trouve effectivement Z = 2. Pour R ≫ a0, on a pratiquement un atome d’hydrogène isolé, ce qui donne Z =1. Entre ces deux extrêmes, Z est une fonction décroissante de ρ ; les énergies optimales correspondantes sont représentées par des triangles sur la Figure 2.

Sous l’effet du champ électrique E créé par le proton P1, le nuage électronique de l’atome d’hydrogène centré en P2 se déforme, et cet atome acquiert un moment dipolaire électrique D. Il en résulte une énergie d’interaction qui décroît comme 1/R4 lorsque R augmente.

Lorsque ρ → ∞, les énergies des états liant et antiliant tendent exponentiellement l’une vers l’autre; par contre, elles se rapprochent moins rapidement (en l/R4) de leur valeur limite.

Représentation schématique des orbitales atomiques 2pz centrées en P1 et P2 (l’axe Oz est choisi suivant P1P2) et utilisées comme base pour construire les orbitales moléculaires excitées σg (2pz) et représentées sur la Figure 9 (on notera la convention de signe choisie).

Représentation schématique des orbitales moléculaires excitées liante σg(2pz) (fig. a) et antiliante (fig. b). Comme sur la Figure 8, on a tracé la section par un plan contenant P1P2 d’une surface où le module|ψ| de la fonction d’onde a une valeur constante donnée. Cette surface est de révolution autour de P1P2. Le signe indiqué est celui de la fonction d’onde (réelle). Les courbes en tiretés sont les sections par le plan de la figure des surfaces nodales (|ψ| = 0).

Représentation schématique des orbitales atomiques 2px centrées en P1 et P2 (l’axe Oz est choisi suivant P1P2), et utilisées comme base pour construire les orbitales moléculaires excitées πu(2px) et représentées sur la Figure 11. Pour chaque orbitale la surface d’égal |ψ| (dont on a représenté la section par le plan xOz) est de révolution, non plus autour de Oz, mais autour d’une droite parallèle à Ox et passant soit par P1, soit par P2.

Représentation schématique des orbitales moléculaires excitées liante πu(2px) (fig. a) et antiliante (fig. b). On a tracé pour chacune de ces deux orbitales la section par le plan xOz d’une surface où |ѱ| a une valeur constante donnée. Cette surface n’est plus de révolution et admet simplement le plan xOz comme plan de symétrie. La signification des signes et des lignes en tiretés est la même que sur les Figures 4, 8, 9, 10.

Schéma indiquant les énergies des diverses orbitales moléculaires excitées construites à partir d’orbitales atomiques 2pz, 2px et 2py centrées en P1 et P2 (l’axe Oz est choisi suivant P1P2). Par raison de symétrie, les orbitales moléculaires issues des orbitales atomiques 2px sont dégénérées avec celles issues des orbitales atomiques 2py. L’écart entre les orbitales moléculaires liante et antiliante πu(2px,y) et est cependant moins grand que l’écart correspondant aux orbitales moléculaires σg (2pz) et . Ceci est dû au recouvrement plus important des deux orbitales atomiques 2pz.

Energie cinètique èlectronique ⟨Te⟩ et ènergie potentielle ⟨V⟩ de l’ion en fonction de (à titre de comparaison, on a ègalement reprèsentè l’ènergie totale E = ⟨Te⟩ + ⟨V⟩).

Variation de l’énergie potentielle Ve de l’électron soumis à l’attraction simultanée des deux protons P1 et P2 lorsqu’il se déplace sur la droite de P1P2 Dans l’état liant, la fonction d’onde est concentrée dans la région située entre P1 et P2, et l’électron bénéficie à la fois de l’attraction des deux protons.

Disposition relative des moments magnétiques MI et Ms du proton et de l’électron ; n est le vecteur unitaire de la droite qui joint les deux particules.

Structure fine du niveau n = 2 de l’atome d’hydrogène. Sous l’effet de l’hamiltonien de structure fine Wf, le niveau n = 2 se scinde en trois niveaux de structure fine, notés 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2. On a indiqué la valeur algébrique des déplacements, calculés à l’ordre un en Wf : le déplacement est le même pour les niveaux 2s1/2 et 2p1/2 (résultat qui demeure d’ailleurs valable à tous les ordres en Wf). Lorsqu’on tient compte du caractère quantique du champ électromagnétique, on trouve que la dégénérescence entre les niveaux 2s1/2 et 2p1/2 est levée (déplacement de Lamb ; voir Figure 4 et remarque (iii) page 1255).

Structure hyperfine du niveau n = 1 de l’atome d’hydrogène. Sous l’effet de Wf, le niveau n = 1 subit un déplacement global égal à –mec2α4/8 ; J ne peut-prendre qu’une seule valeur, J = 1/2. Lorsqu’on tient compte du couplage hyperfin Whf, le niveau 1s1/2 se scinde en deux niveaux hyperfins F =1 et F = 0. La transition hyperfine F =1 ↔ F = 0 (raie de longueur d’onde 21 cm étudiée en radioastronomie) a une fréquence connue expérimentalement avec douze chiffres significatifs (grâce à la réalisation du maser à hydrogène).

Structure hyperfine du niveau n = 2 de l’atome d’hydrogène. L’écart S entre les deux niveaux 2s1/2 et 2p1/2 est le déplacement de Lamb, environ dix fois plus petit que l’intervalle de structure fine ΔΕ qui sépare les deux niveaux 2p1/2 et 2p3/2 . Lorsqu’on tient compte du couplage hyperfin Whf, chaque niveau se scinde en deux sous-niveaux hyperfins (la valeur correspondante du nombre quantique F est indiquée sur la partie droite de la figure). Les écarts hyperfins valent 23,7 MHz pour le niveau 2p1/2, 177,56 MHz pour le niveau 2s1/2, 59,19 MHz pour le niveau 2p1/2 (pour plus de clarté, la figure ne respecte pas l’échelle).

Diagramme Zeeman en champ faible du niveau fondamental 1s de l’atome d’hydrogène. Le niveau hyperfin F = 1 se scinde en trois niveaux équidistants correspondant chacun à une valeur bien définie du nombre quantique mF. Le niveau F = 0 ne subit aucun déplacement au premier ordre en ω0.

Mouvements de S, I et F dans le modèle vectoriel de l’atome : en champ faible, S et I précessent rapidement autour de F sous l’effet du couplage hyperfin; F précesse lentement autour de B0 (précession de Larmor).

Diagramme Zeeman en champ fort du niveau fondamental 1s de l’atome d’hydrogène. Pour chaque orientation du spin électronique (εs = + ou εs = –), on obtient deux droites parallèles séparées par une énergie , correspondant chacune à une orientation différente du spin du proton (εI = + ou εI = –).

Mouvement de S dans le modèle vectoriel de l’atome : en champ fort, S précesse rapidement autour de B0 (on néglige ici à la fois le couplage Zeeman entre I et B0 et le couplage hyperfin entre I et S, de sorte que I l’este immobile).

Diagramme Zeeman (en champ quelconque) du niveau fondamental 1s de l’atome d’hydrogène ; mp reste un bon nombre quantique pour toute valeur du champ. On obtient deux droites, de pentes opposées, correspondant aux valeurs +1 et –1 de mF, ainsi qu’une hyperbole dont les deux branches sont associées aux deux niveaux mF = 0. Les figures 5 et 7 donnent respectivement les tangentes à l’origine et les asymptotes des niveaux représentés sur ce diagramme.

Compléments du chapitre XII

Disposition relative du moment magnétique MI du proton et du champ bl créé par la boucle de courant associée au mouvement de l’électron, de charge q et de vitesse v (bl est antiparallèle au moment cinétique orbital L de l’électron).

Champ magnétique créé par le proton. A l’extérieur du proton, le champ est celui d’un dipôle ; à l’intérieur, le champ dépend de la répartition exacte du magnétisme du proton mais on peut, en première approximation, le considérer comme uniforme. Le terme de contact correspond à l’interaction entre le moment magnétique de spin de l’électron et ce champ uniforme Bi, régnant à l’intérieur du proton.

Diagramme Zeeman du niveau fondamental 1s du muonium. Comme on ne néglige pas ici le couplage Zeeman entre le moment magnétique du muon et le champ statique B0, les deux droites (correspondant en champ fort à une même orientation du spin électronique mais à deux orientations différentes du spin du muon) ne sont plus parallèles comme c’était le cas pour l’hydrogène (le diagramme Zeeman de la Figure 9 du Chapitre XII est tracé en négligeant la pulsation de Lar-mor ωn du proton). Pour une même valeur du champ statique Bo, l’écart entre les niveaux E1 et E3 d’une part, entre les niveaux E2 et E4 d’autre part, passe par une valeur extrémale ; les flèches représentent les transitions étudiées expérimentalement pour cette valeur du champ B0.

Diagramme Zeeman du niveau fondamental 1s du positronium. Comme pour l’hydrogène et le muonium, ce diagramme est constitué d’une hyperbole et de deux droites. Cependant, comme les rapports gyromagnétiques de l’électron et du positron sont exactement opposés, les deux droites ont une pente nulle et sont par suite confondues (dans les deux états d’énergie E1 et E2 correspondants, le moment magnétique global est nul, car les spins de l’électron et du positron sont parallèles). La flèche représente la transition étudiée expérimentalement.

Diagramme Zeeman du niveau 1s1/2 lorsqu’on néglige le couplage hyperfin Whf. L’ordonnée du point où les deux niveaux ms = ±1/2 se croisent est l’énergie du niveau 1s1/2 (valeur propre −EI de Ho corrigée du déplacement global produit par l’hamiltonien de structure fine Wf ). La Figure 9 du Chapitre XII donne une idée des modifications de ce diagramme produites par Whf.

Diagramme Zeeman du niveau 2p (lorsqu’on néglige le couplage hyperfin Whf ). En champ nul, on retrouve les niveaux de structure fine 2p1/2 et 2p3/2. Le diagramme Zeeman est constitué de deux droites et de deux hyperboles(dont on a représenté les asymptotes en traits tiretés). Le couplage hyperfin Whf ne modifierait ce diagramme de manière importante qu’au voisinage de ω0 = 0. ˜E(2p) est l’énergie du niveau 2p(valeur propre −EI/4 de H0) corrigée du déplacement global produit par Wmv + WD.

Fréquences des diverses composantes Zeeman de la raie de résonance de l’hydrogène. a) En champ nul : on observe deux raies, séparées par l’intervalle de structure fine 3ξ2pħ/4π (ξ2p est la constante de couplage spin-orbite du niveau 2p), et correspondant respectivement aux transitions 2p3/2 ↔ 1s 1/2 (raie à droite sur la figure) et 2p1/2 ↔ 1s1/2 (raie de gauche). b) En champ B0 faible : chaque raie se décompose en une série de composantes Zeeman dont on a indiqué les polarisations ; ω0/2π est la fréquence de Larmor dans le champ B0.

Disposition, en champ faible, des sous-niveaux Zeeman issus des niveaux de structure fine 1s1/2, 2p1/2, 2p3/2 (dont les énergies en champ nul sont inscrites sur l’échelle verticale d’énergie). Sur la partie droite de la figure sont indiqués les écarts entre sous-niveaux Zeeman consécutifs (par souci de clarté, ces écarts sont exagérés par rapport à l’intervalle de structure fine qui sépare les niveaux 2p1/2 et 2p3/2), ainsi que les valeurs des nombres quantiques J et mj associés à chaque sous-niveau. Les flèches indiquent les composantes Zeeman de la raie de résonance, qui ont chacune une polarisation bien définie, σ+, σ– ou π.

Disposition en champ fort (structure fine découplée) des sous-niveaux Zeeman issus des niveaux 1s et 2p. Sur la partie droite de la figure sont indiquées les valeurs des nombres quantiques ml et ms associés à chaque sous-niveau Zeeman, ainsi que l’énergie correspondante, repérée par rapport à E(ls1/2) ou E(2p). Les flèches verticales indiquent les composantes Zeeman de la raie de résonance.

Position, en champ fort, des composantes Zeeman de la raie de résonance de l’hydrogène. Mis à part le dédoublement des raies σ+ et σ–, ce spectre est identique à celui obtenu dans le Complément DVII, où l’on ignorait les effets liés au spin électronique.

Variations avec t′ de la fonction Ŵfi(t′) : Ŵfi(t′) coincide avec Wfi(t′) dans l’intervalle 0 ≤ t′ ≤ t, et s’annule à l’extérieur de cet intervalle. C’est la transformée de Fourier de Ŵfi(t′) qui intervient dans la probabilité de transition à l’ordre le plus bas.

Disposition relative des énergies Ei et Ef associées aux états |φί⟩ et |φf⟩. Si Ei < Ef (fig. a), la transition |φi⟩ — > |φf⟩ s’effectue par absorption d’un quantum d’énergie ħω ; si au contraire Ei é Ef (fig. b), la transition |φ·i ⟩ — > |φf⟩ s’effectue par émission induite d’un quantum d’énergie ħω.

Variations avec ω de la probabilité de transition au premier ordre Pif (t; ω) associée à une perturbation sinusoïdale de pulsation ω ; t a une valeur fixée. Lorsque ω ⟩ ωfi, il apparaît une résonance dont l’intensité est proportionnelle à t2 et la largeur inversement proportionnelle à t.

Variations en fonction de ωfi= (Ef – Ei)/ℏ de la probabilité de transition Pif (t) associée à une perturbation constante ; t a une valeur fixée. Il apparaît une résonance centrée autour de ωfi = 0 (conservation de l’énergie), ayant même largeur que la résonance de la Figure 3, mais une intensité quatre fois plus grande (par suite d’une interférence constructive entre les termes résonnant et antirésonnant qui, pour une perturbation constante, sont égaux).

Compléments du chapitre XIII

Champs électrique E et magnétique B d’une onde plane de vecteur d’onde k.

Répartition spectrale du flux incident d’énergie électromagnétique par unité de surface. Δ est la largeur de cette répartition spectrale.

Schéma de principe des calculs à effectuer pour étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu matériel (ou le fonctionnement d’un oscillateur atomique, laser ou maser) : on commence par calculer les moments dipolaires induits dans le milieu par un champ électromagnétique donné (réponse du système atomique) ; la polarisation correspondante agit comme un terme source dans les équations de Maxwell et contribue à créer le champ électromagnétique ; on écrit alors l’égalité entre le champ ainsi obtenu et celui dont on est parti.

Niveaux d’énergie d’un spin 1/2 dans un champ magnétique statique B0 ; ωο est la pulsation de Larmor dans le champ B0·

: tableau à double entrée indiquant les composantes de Fourier à ρω de l’aimantation qui sont non nulles à un ordre de perturbation n en ω1.

Variations avec ω du carré du module |χ(ω)|2 de la susceptibilité linéaire du système de spins. Il apparaît une résonance, de largeur 2/tr, centrée en ω = ω0.

Variations avec ω0 de l’aimantation statique longitudinale. Il apparaît, au second ordre du traitement de perturbation, deux résonances de largeur 2/tr centrées en ω0 = ω et ω0 = —ω. Le calcul n’est valable que si l’intensité relative des résonances est faible, c’est-à-dire si ω1ΤR ≪ 1.

Le spin peut passer du niveau |–⟩ au niveau |+⟩ en absorbant trois photons d’énergie ħω. L’énergie globale est conservée si ħω0 = 3ħω ; le moment cinétique global est conservé si deux photons ont une polarisation σ+ (ils apportent alors chacun un moment cinétique +ħ par rapport à Oz), le troisième une polarisation σ– (il apporte un moment cinétique –ħ).

Champ magnétique statique B0 et champ de radiofréquence B1, dans le cas où B1 n’est ni parallèle, ni perpendiculaire à B0 ; B1|| et B1⊥ sont les composantes de B1 dans la direction de B0 et la direction perpendiculaire.

Variations avec E des fonctions K(E) et , les “largeurs” respectives des deux courbes sont de l’ordre de ħΔ et 4ħ/t. Pour t suffisamment grand, se comporte comme une “fonction delta” vis-à-vis de K (E).

Variations avec le temps de la probabilité de trouver à l’instant t le système dans l’état discret |φi⟩. On obtient une décroissance exponentielle en e−t/τ dont la règle d’or de Fermi donne la tangente à l’origine (cette tangente est tracée en traits tiretés).

Allure de la distribution en énergie des états finals atteints par le système après la désintégration de l’état discret. On obtient une distribution lorentzienne centrée en Ei + δE (énergie de l’état discret corrigée du déplacement δE dû au couplage avec le continuum) d’autant plus large que la durée de vie τ de l’état discret est plus courte (relation d’incertitude temps-énergie).

Variations du taux de relaxation longitudinale 1/T1 en fonction de la différence d’énergie ħω0 entre les deux niveaux d’énergie (partie gauche de la figure) et du temps de correlation τc (partie droite de la figure). Ce taux est proportionnel à la puissance spectrale de la perturbation à la fréquence ω0, qui décroît en fonction de ω0 comme une fonction lorentzienne-cf. relation (63). Lorsque ω0 ≫ 1/τc, on est dans un régime où la puissance spectrale de la perturbation décroît en , de sorte qu’on peut réduire fortement le taux de relaxation en augmentant ω0. Si maintenant on se place à ω0 fixe et si l’on fait croître le temps de corrélation τc, on obtient d’abord une variation linéaire de la probabilité de relaxation, qui est proportionnelle au temps τc pendant lequel la perturbation agit de façon cohérente. Ensuite, la probabilité passe par une valeur maximale pour ω0 = 1/τc, puis décroît en 1/τc parce que les composantes de Fourier à la fréquence ω0 sont de plus en plus faibles.

Position et vitesse de chacune des deux particules à l’instant initial et à l’instant t.

Collision entre deux particules identiques dans le repère du centre de masse : représentation schématique de la fonction d’onde des deux particules. Avant la collision (fig. a), les deux paquets d’ondes qui se dirigent l’un vers l’autre sont nettement séparés et on peut leur affecter des numéros. Pendant la collision (fig. b), les deux paquets d’ondes se recouvrent. Après la collision (fig. c), la probabilité de présence des deux particules est non-nulle dans une région ayant l’allure d’une couronne sphérique dont le rayon croît au cours du temps. Comme les deux particules sont identiques il est impossible, lorsqu’on détecte une particule en D, de savoir auquel des paquets d’ondes, (1) ou (2), elle était associée avant la collision.

Représentation schématique des deux types de “chemins” qui ont pu être suivis par le système depuis l’état initial jusqu’à l’état trouvé lors de la mesure; comme les deux particules sont identiques, rien ne permet de déterminer le chemin qui a été effectivement suivi.

Schématisation du terme direct et du terme d’échange associés à une mesure effectuée sur un système de deux particules identiques. Avant la mesure, on sait qu’une particule est dans l’état |φ >, l’autre dans l’état |χ > ; le résultat de mesure obtenu correspond à une situation où une particule est dans l’état |un >, l’autre dans l’état |un′ >. Deux amplitudes de probabilité sont associées à une telle mesure; elles sont schématisées sur les figures a et b. Ces amplitudes interfèrent avec le signe + pour les bosons, le signe-pour les fermions.

Schématisation des six amplitudes de probabilité associées à une mesure portant sur un système de trois particules identiques. Avant la mesure, on sait qu’une particule est dans l’état |φ >, une autre dans l’état |χ >, la dernière dans l’état |ω > ; le résultat obtenu correspond à une situation où une particule est dans l’état |un >, une autre dans l’état |un′ >, la dernière dans l’état |un″ >. Les six amplitudes interfèrent avec un signe qui a été indiqué sous chacune d’elles (ε = +1 pour les bosons, –1 pour les fermions).

Collision entre deux particules identiques dans le repère du centre de masse : impulsions des deux particules dans l’état initial (fig. a), et dans l’état final trouvé lors de la mesure (fig. b). Pour simplifier, on ignore le spin des particules.

Collision entre deux particules identiques dans le repère du centre de masse : schématisation des processus physiques correspondant au terme direct et au terme d’échange. Les amplitudes de diffusion associées à ces deux processus interfèrent avec le signe plus pour les bosons, le signe moins pour les fermions.

Collision entre deux particules identiques de spin 1/2 dans le repère du centre de masse : impulsions et spins des deux particules dans l’état initial (fig. a), et dans l’état final trouvé lors de la mesure (fig. b). Si les interactions entre les deux particules sont indépendantes des spins, l’orientation des spins ne change pas au cours de la collision; lorsque les deux particules ne sont pas dans le même état de spin avant la collision (cas de la figure), il est possible de déterminer le “chemin ” suivi par le système pour arriver à un état final donné : par exemple, le seul processus de diffusion qui conduise à l’état final de la figure b, et qui ait une amplitude non nulle, est du type de celui de la Figure 7a.

Variations avec r du potentiel central Vc(r). Les courbes en traits tiretés représentent le comportement de ce potentiel aux courtes distances (–Ze2/r) et aux longues distances (–e2/r).

Schéma donnant l’ordre de succession des niveaux d’énergie (couches électroniques)dans un potentiel central du type de celui de la Figure 1. Pour chaque valeur de n, l’énergie croît avec l. La dégénérescence de chaque niveau est indiquée entre parenthèses. Les niveaux figurant à l’intérieur d’une même accolade sont très proches les uns des autres, et leur disposition relative peut varier d’un atome à l’autre. Sur la partie droite de la figure, on a indiqué les symboles chimiques des atomes pour lesquels la couche électronique figurant sur la même ligne est la dernière occupée dans la configuration fondamentale.

Configuration fondamentale et premières configurations excitées de l’atome d’hélium (l’échelle d’énergie n’est pas respectée).

Disposition relative des termes spectraux1S et3 S issus de la configuration 1s, 2s de l’atome d’hélium. K représente un déplacement global de la configuration; la levée de dégénérescence est proportionnelle à l’intégrale d’échange J.

Disposition relative des termes spectraux et des multiplets issus de la configuration 1s, 2p de l’atome d’hélium(les séparations entre les trois multiplets3P0,3P,3P2 ont été fortement exagérées pour rendre la figure plus claire).

- Extrémités des vecteurs caractérisant les fonctions d’onde stationnaires dans un puits carré infini à deux dimensions.

- Variations de ν(E )avec E [le produit v(E)dE donne le nombre d’électrons ayant l’énergie Eà dE près] : au zéro absolu, tous les niveaux dont l’énergie est inférieure à l’énergie de Fermi Ep sont occupés (fig. a) ; à une température T légèrement supérieure, la transition entre les niveaux vides et occupés se fait sur un intervalle d’énergie de quelques kT (fig. b).

Allure de la fonction de distribution de Fermi-Dirac au zéro absolu (pointillés) et à basse température (trait plein). Pour un gaz d’électrons au zéro absolu, le niveau de Fermi μ coïncide avec l’énergie de Fermi EF. Les courbes de la Figure 2 s’obtiennent en multipliant la densité d’états ρ(E) par f (E,T).

- Densités d’états ρ+(E) et ρ–(E) correspondant aux états de spin |+ et | — > respectivement (μΒ est négatif). Au zéro absolu, seuls les états dont l’énergie est inférieure à EF sont occupés.

- Schéma montrant les niveaux individuels occupés par les électrons au zéro absolu (parties en gris) ; EF est l’énergie individuelle la plus élevée. Dans un conducteur (fig. a), EF (qui coïncide alors avec le niveau de Fermi μ) tombe à l’intérieur d’une bande permise, appelée “bande de conduction”; les électrons d’énergie voisine de Ep peuvent alors être facilement accélérés, car les états d’énergie légèrement supérieure leur sont accessibles. Dans un isolant (fig. b), Ep coïncide avec le sommet d’une bande permise appelée “bande de valence” (le niveau de Fermi μ est alors situé dans la bande interdite adjacente) ; les électrons ne peuvent être excités qu’en franchissant la bande interdite, ce qui exige une énergie au moins égale à la largeur E de cette bande.

Semi conducteurs extrinsèques : les atomes donneurs (fig. a) apportent des électrons qui passent facilement dans la bande de conduction, car leur état fondamental n’en est séparé que par un intervalle d’énergie dEd beaucoup plus petit que la largeur de la bande interdite. Les atomes accepteurs (fig. b) captent facilement des électrons de la bande de valence, car il suffit pour cela que ces électrons gagnent une énergie d’excitation dE beaucoup plus faible que pour atteindre la bande de conduction ; ce processus crée, dans la bande de valence, des trous susceptibles de conduire le courant.

Fonction δ(ε) (x): créneau de largeur ε, de hauteur 1/ε, centré en x = 0.

Fonctions δ(ε) (x – y) et δ(ε) (x – z) : deux créneaux de largeur ε, de hauteur 1/ε, centrés respectivement en x = y et x = z.

Variations en fonction de y – z du produit scalaire F(ε)(y, z) des deux fonctions créneaux représentées sur la Figure 2 : ce produit scalaire est nul quand les deux créneaux ne se recouvrent pas (|y – z| ≥ ε), maximal lorsqu’ils coïncident. F(ε)(y, z) tend vers δ(y – z ) quand ε → 0.

Primitive θ(ε)(x) de la fonction δ(ε)(x) représentée sur la Figure 1. Quand ε → 0, θ(ε)(x) tend vers la fonction saut de Heaviside θ(x).

Vecteurs unitaires er, eθ, eφ, des axes locaux associés au point M, ce dernier étant repéré par ses coordonnées sphériques r, θ, φ.

Chemin d’espace-temps associé à un mouvement donné du système matériel : on porte en abscisses le temps t, en “ordonnées” Q (qui symbolise l’ensemble des coordonnées généralisées qi).

Deux chemins d’espace-temps passant par les points (Q1, t1) et (Q2, t2) ·′ en traits pleins, le chemin associé au mouvement réel du système ; en traits tiretés, un autre chemin, infiniment voisin.